Geforce4 TI Artikel

[Frank]

Also liest sich erstmal ganz nett...

Dafür gibts 'nen Bienchen ins Muttiheft aths.


Aber nun zu meiner Frage:
Wie definiert man (du?) ein Skalarprodukt mit 3 oder gar 4 Komponenten? Ich wär der Meinung, das dies wohl entweder falsch geschrieben oder gemeint ist... ??? Wenn nicht lass ich mich gern belehren. (Also bei 2 Komponenten war das wohl vektor1(transponiert) mal Gramsche Matrix mal vektor2 - wobei Gramsche Matrix wohl im Idealfall (euklidische Geometrie) Einheitsmatrix ist...

....???....
:bonk:

*überleg*

<edit>
Ist das Skalarprodukt nicht eine symetrische(hermitische) und postiv definite Bilinearform? (also Bi..! -> 2)

[aths]

Frank, das Skalar-Produkt liefert, wie das Wort schon andeutet, einen Skalar. Die Anzahl der Komponenten ist beliebig, nur müssen beide Vektoren natürlich die gleiche Zahl an Komponenten haben.

Den Vektor

|a|
|b|
|c|

mit

|d|
|e|
|f|

skalarmultipliziert ergibt als Ergebnis a*d + b*e + c*f. Das ganze ist problemlos mit 2, 4 oder x Komponenten machbar.

Ein Vektor mit sich selbst skalarmultipliziert ergibt das Quadrat seiner Länge.

edit: Rechtschreibung

[Frank]

na ja das ist klar

Aber wahrscheinlich haben wir andeinander vorbeigelesen. Ich dachte du meinst mit 4 Komponenten nicht die 4. Dimension, sondern das Skalarprodukt von 4 Vektoren... las sich zumindest für mich so.

Die 4. Dimension ist wohl mehr als praktisch - da man selbst schon im projektiven Raum ja eigentlich 4 Dimensionen hat... - ja ich weiss - der Grafikchip rechnet anders... aber egal

Und nochmal zur Defintion:
So wie sie von mir da oben steht ist's schon richtig. Dein Fall ist ein reiner spezialFall und ist nicht das Skalarprodukt sondern das euklidische 3 dimensionale Skalarprodukt... *klugscheiss*
... is nur spassig gemeint, nicht ernst nehmen

aber wir wolln ja richtig stellen

[aths]

Beim PS ist das Dot3-Product gemeint, welches ich Skalarprodukt nannte, damit sich der Kreis jener die noch verstehen worüber ich da, äh, schrieb, größer wird :)

[Legolas]

Originally posted by Frank
Und nochmal zur Defintion:
So wie sie von mir da oben steht ist's schon richtig. Dein Fall ist ein reiner spezialFall und ist nicht das Skalarprodukt sondern das euklidische 3 dimensionale Skalarprodukt... *klugscheiss*
... is nur spassig gemeint, nicht ernst nehmen


Oder auch Standardskalarprodukt, das geht in allen bel. Vektorräumen :D Wobei das Geometrische Skalarprodukt ja nur ein Spezialfall von ist. Hörst dich fast an wie meine Mathelehrerin Frank :D

[Frank]

Originally posted by Legolas
Oder auch Standardskalarprodukt, das geht in allen bel. Vektorräumen :D
Mit so einer Aussage wär ich vorsichtig...

Ein Skalarprodukt gibts glaub ich nur in unitären oder euklidischen Vektorräumen. Und dort ist noch nichtmal gesagt ob es sich (deine Bezeichnung ist die richtige!) um das sogenannte Standardskalarprodukt handelt oder nicht.

Den Vektorraum selber definiert man auf einen Körper und den 2 Operationen: Addition und Multiplikation mit Skalar (also einer einfachen Zahl des Körpers)

*verwirrt*
:bonk:

[Legolas]

Also *Mathebuch rauskram*

Also wenn ich mir das so anschau, dann kann man für jeden bel. Vektorraum ein Skalarprodukt definieren. Das muss nur bestimmte Eigenschaften haben... Das Skalarprodukt im Anschauungsraum ist ein Spezialfall des Standardskalarprodukts. Beim Standardskalarprodukt sind die Strukturkonstanten ei * ej = 0, so daß gilt:



a1 b1
a2 * b2 = a1*b1+a2*b2+a3*b3 wobei a1-a3 und b1-b3
a3 b3 Vektorkoordinaten sind



Man kann auch andere Strukturkonstanten ei * ej festlegen, nur die Axiome des Skalarprodukts müssen erfüllt werden. Nur dann liegt kein Standandskalarprodukt mehr vor.

Zur Def. des Vektorraums:
Ein Vektorraum wird doch durch die Linearkombinationen der Basisvektoren festgelegt. So haben wir das zumindest gelernt.

[Frank]

Das der Vektorraum durch die Linearkombinationen seiner Basisvektoren festgelegt ist stimmt. Aber dadurch wird er nicht definiert. Eine Basis könnte man mit dieser Aussage definieren. ??? :bonk:
und hier mal ausführlich...

[Legolas]

Danke für die Ausführung :D So in etwa hab ich das auch gelernt, nur das mit Skalarprodukt und euklidischen Vektorraum haben wir genau anderstherum gemacht: Ein VR auf dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt euklidisch...

[Frank]

trotzdem find ich das genial, dass ihr das schon in der Schule habt... ok - LK Mathe und so...

Aber wir hatten das damals überhaupt nicht - also algebraische Strukturen wie Vektorraum

[Legolas]

Steht auch nur sporadisch im Schulbuch.. wir haben das aber 'dank' unserer übereifrigen Mathelehrerin recht ausführlich gemacht... brauchen tun wirs fürs Abi sogut wie nicht und der LK im Jahr vorher hat das auch nicht gemacht :D... ich find ehrlichgesagt recht wirr.. da ist mir das Standardskalarprodukt im Anschauungsraum lieber als ein wirr definiertes, mit dem man dann zwar auch Winkel usw. berechnen kann, nur dass die dann mit der Wirklichkeit nicht mehr viel zu tun haben :D Nur was eine Bilinearform genau sein soll, weiß ich nicht... hab ich noch die gehört den Begriff :D

[Frank]

`nicht wirr definiert.

Das Standardskalarprodukt ist einfach nur der einfachste Spezialfall den es gibt. Und mit dem kann man genauso Winkel/Längen berechnen wie mit den allgemeinen.

Bilinearform... ganz einfach -> linear bzgl erster und zweiter Stelle. (in den eckigen Klammern)

[Legolas]

Sicherlich wirr definiert... alles was den axiomen entspricht ist ein Skalarprodukt.. nur daß die Winkel, die mit einem nicht-Standardskalarprodukt berechnet wurden nicht denen der Wirklichkeit entsprechen, wenn man jetzt z.b. den R³ hernimmt und ein beliebiges Skalarprodukt hernimmt.

[Frank]

"Der Wirklichkeit ... "

das ist so eine Sache. Die können schon der Wirklichkeit entsprechen - wir befinden uns ja nicht immer im euklidischen Fall. Auch in der Realität. Die Euklidische Geometrie ist letztendlich auch nur ein netter Spezialfall.

Bsp:
Deine Augen sehen zum beispiel nicht euklidisch sonderen projektiv - nur dein Gehirn denkt das sofort in euklidisch um. -> projektive Geometrie. Oder hier auf der Erde... wir leben auf "Kugel" -> sphärische Geometrie. Da brauchste bloß die mal die Flugzueglinien anguggen - die fliegen immer auf komischen Wölbungen anstatt anschaulich auf den kürzesten Weg, der Gerade.

...

[Legolas]

Mag schon sein.. nur wenn das Gehirn alles in einen euklidischen Raum umrechnet, dann ist für mich in erster Linie genau dieser interessant.. kann auch einfach sein, daß ich das ganze allg. Zeugs nur deswegen für sinnlos halte, weil wir in der Schule keinerlei Anwendungen dazu gemacht haben... nur halt Geometrie im Anschauungsraum.

P.S.: Augen sehen nur 2D zumindest eines alleine..