Polynomdivision

[Sir.Lydex]

Hallo,

ich sitze hier schon seit geraumer Zeit an dem Problem, dass ich eine Polynomdivision durchführen möchte, und es nicht kann. Es geht um folgende Gleichung:

(x^6 - 7200x^4 + 12960000x^2) / (-16x^2+57600)

Wie könnte man hier verfahren? Ich brauche die erste Ableitung und wollte es durch die Polynomdivision vereinfachen um 1 Potenz(?) und es dann ohne Bruch ableiten?

Hoffe mir kann wer helfen ..


MfG

[Bis]

f(x) = (x^6 - 7200x^4 + 12960000x^2) / (-16x^2+57600)

Zähler und Nenner sind Binome:

x^6 - 7200 * x^4 + 12960000 * x^2 = x^2 * (x^2 - 3600)^2 = x^2 * (x - 60)^2 * (x + 60)^2
57600 - 16 * x^2 = (240 - 4 * x) * (240 + 4 * x) = 16 * (60 - x) * (60 + x)

also:

x^2 * (x - 60)^2 * (x + 60)^2 / (16 * (60 - x) * (60 + x)) ~ -1/16 * x^2 * (x - 60) * (x + 60)

Achtung! Keine Gleichheit sondern nur ähnlich (~), da Du 2 Deflücken kürzt!

f(x) ~ -1/16 * x^2 * (x - 60) * (x + 60)
f(x) ~ -1/16 * (x^4 - 3600 * x^2)
f'(x) ~ -1/16 * (4 * x^3 - 7200 * x)
f''(x) ~ -1/16 * (12 * x^2 - 7200)
f'''(x) ~ -3/2 * x

Nullstelle:
x = 0
Deflücken:
x = -60; x = 60
Extrema:
x = 0, Minima; x = -30 * sqrt(2), Maxima; x = 30 * sqrt(2), Maxima
Wendepkte:
x = -10 * sqrt(6); x = 10 * sqrt(6)

[Gast]

was willst da denn kürzen ? u/v regel und gut ist...ist um vieles einfacher

[Bis]

was willst da denn kürzen ? u/v regel und gut ist...ist um vieles einfacher

:lol:

So kann nur jemand sprechen, der kein Gefühl für die Mathematik hat.

[Sir.Lydex]

f(x) = (x^6 - 7200x^4 + 12960000x^2) / (-16x^2+57600)

Zähler und Nenner sind Binome:

x^6 - 7200 * x^4 + 12960000 * x^2 = x^2 * (x^2 - 3600)^2 = x^2 * (x - 60) * (x + 60)
57600 - 16 * x^2 = (240 - 4 * x) * (240 + 4 * x) = 16 * (60 - x) * (60 + x)

also:

x^2 * (x - 60) * (x + 60) / (16 * (60 - x) * (60 + x)) ~ - x^2 / 16

Achtung! Keine Gleichheit sondern nur ähnlich (~), da Du 2 Deflücken kürzt!

f(x) ~ -x^2 / 16
f'(x) ~ -x / 8


Da ich das Extremum dieser Funkzion brauche, ist damit nicht soviel anzufangen, denn wenn ich die Funktion so wie sie Ursprünglich dasteht in den GTR eingebe, sieht der Garph aus wie einer 4. Grades. Zumindest hat er bei 42,42 einen Hochpunkt (Grafisch gelöst, nun noch der entsprechende rechnerischen Weg gesucht.).
Bei den neuen Werten haben wir nur einen HP bei Null. Woran liegt das?

Danke,

Sir_Lydex

[Bis]

Da ich das Extremum dieser Funkzion brauche, ist damit nicht soviel anzufangen, denn wenn ich die Funktion so wie sie Ursprünglich dasteht in den GTR eingebe, sieht der Garph aus wie einer 4. Grades. [..]
Bei den neuen Werten haben wir nur einen HP bei Null. Woran liegt das?

Sry, hatte ein Quadrat weggeschusselt - habs oben korrigiert.

Und Du darfst immer die gekürzte Variante nehmen. Zumindest dann, wenn Du daran denkst, die Deflücken zu ergänzen.

[Sir.Lydex]

Sry, hatte ein Quadrat weggeschusselt - habs oben korrigiert.

Und Du darfst immer die gekürzte Variante nehmen. Zumindest dann, wenn Du daran denkst, die Deflücken zu ergänzen.

Was meinst du mit Deflücken? Und gibt es irgendeinen Trick wie man Binome "sehen" kann?(Also zu wissen: hier ist eins, und es ist sinnvoll damit zu arbeiten ..) Irgendwie habe ich da so meine Schwierigkeiten mit...


MfG

[Xmas]

Deflücken = Stellen, an der die Funktion nicht definiert ist, weil der Nenner dort 0 ist.

[Bis]

Deflücken = Stellen, an der die Funktion nicht definiert ist, weil der Nenner dort 0 ist.

Falsch!

Nullstellen: nur Zähler = 0
Polstellen: nur Nenner = 0
Deflücken: Zähler und Nenner = 0

An den Nullstellen -60 und 60 der Fkt -1/16 * x^2 * (x - 60) * (x + 60) hat die Ausgangsfkt (hebbare) Deflücken, was heisst, dass Du dort leere Kringel einzutragen hast.

@Binome
Prinzipiell gilt, dass Du immer zuerst alle gemeinsamen Faktoren ausklammern solltest, siehst Du dann einer dieser ..
a^2 + 2*a*b + b^2 (= (a+b)^2)
a^2 - b^2 (= (a-b) * (a+b))
Formen, sind's Binome, die sich wie in den Klammern dargstellt zusammenfassen lassen. Und merke, Binome zusammenklammern lohnt IMMER! Selbst dann wenn sich nix kürzen lässt.

Schau mal:
2*x^4 - 64*x^2 + 512 = 0

Erst ausklammern:
2*(x^4 - 32*x^2 + 256) = 0

Jetzt scharf hingucken:
2*((x^2)^2 - 2*16*x^2 + 16^2) = 0
2*(x^2 - 16)^2 = 0

Nochmal scharf hingucken:
2*(x - 4)^2 * (x + 4)^2 = 0

Lösungen ablesen:
x = -4; x = 4
Beide sind doppelt belegt.

Wie Du siehst, schneller hätte man die Aufgabe auch mit biquadratischer Substitution nicht lösen können.

[Xmas]

Da ich den Begriff "Deflücken" in dieser Kurzform im mathematischen Gebrauch nicht kenne, gehe ich davon aus dass du Lücken im Definitionsbereich der Funktion meinst. Und dort wo der Nenner 0 wird, ist die Funktion nun mal nicht definiert, auch wenn es sich um eine hebbare Unstetigkeitsstelle handelt.