brauche in mathe (Vektorielle Darstellung von Geraden)

[Gast]

Gegeben ist die Ebene E:X= (3,0,2) + r * (2,1,7) + s * (3,2,5)

a.) Liegen die Punkte A(8/3/14, B(1/1/0), C(4/0/11) in der Ebeen E?

Ich kapiere das nicht :( Kann mir mal bitte einer anhand dieser Aufgabe erläutern/erklären, wie ich vorzugehen hab und woran ich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit erkenne?!

danke

Gast, der die Lehrerin nicht verstanden hat

[Plutos]

Ganz einfach: die Ebenengleichung liefert dir, wenn du alle möglichen Werte für r und s einsetzt, alle Punkte, die in der Ebene liegen.

D.h. du musst nur schauen, ob es r und s so gibt, dass die Gleichung E(r, s)=A (bzw. B bzw. C) erfüllt ist. Das machst du wie? Richtig, gleichsetzen:

Ebene E: X= (3,0,2) + r * (2,1,7) + s * (3,2,5)
Punkt A: (8, 3, 14)
Gleichsetzen -> X=A -> (3,0,2)+r*(2,1,7)+s*(3,2,5)=(8,3,14)

Das Lösen überlass ich dir, fertig. Entweder du erhältst die Werte für r und s (die kannst du dann zur Kontrolle in die Ebenengleichung einsetzen, wenn dann A rauskommt, stimmts).


Lineare Unabhängigkeit? Fauler Hund, schau in dei Mathebuch ;) [edit: da ist mir doch um die Uhrzeit ein Fehler unterlaufen]

Oder anders: u, v zwei Vektoren. Wenn es ein µ (z.B. aus den reellen Zahlen) gibt, so dass u=µ*v, dann sind die beiden Vektoren linear abhängig.

Oder nochmal anders: Sehr anschaulich, geometrisch betrachtet: nehmen wir mal den R² (bzw. auch R³, R=Menge der reellen Zahlen). Dann sind zwei Vektoren linear abhängig, wenn sie "in dieselbe oder in genau die entgegengesetzte Richtung zeigen", wenn also der Winkel zwischen beiden entweder genau 0° oder genau 180° beträgt.

[papachrischi]

Gegeben ist die Ebene E:X= (3,0,2) + r * (2,1,7) + s * (3,2,5)

a.) Liegen die Punkte A(8/3/14, B(1/1/0), C(4/0/11) in der Ebeen E?

Ich kapiere das nicht :( Kann mir mal bitte einer anhand dieser Aufgabe erläutern/erklären, wie ich vorzugehen hab und woran ich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit erkenne?!

danke

Gast, der die Lehrerin nicht verstanden hat


Du brauchst zunächst mal die Normalenform der Ebene (a*x+b*y+c*z+d=0)
a,b,c sind die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene. (Kreuzprodukt von (2,1,7) und (3,2,5))

Du erhältst a=-9, b=11, c=1 (ich hoffe bis hierhin is klar).

Jetzt musst du noch d ermitteln.

Dazu setzt du den Anfangspunkt (3,0,2) deiner Ebene in die Gleichung ein und ermittelst d:

-9*3+11*0+1*2=-d
d=25

daraus ergibt sich folgende Normalform der Ebene:

-9*x+11*y+1*z+25=0

Der Rest ist einfach. Die zu überprüfenden Punkte werden in die Gleichung eingesetzt. Wenn sie stimmt, liegt er in der Ebene wenn nicht, dann nicht.

(8,3,14): -9*8 + 11*3 + 1*14 + 25=0 (stimmt, Punkt liegt in Ebene)
(1,1,0): -9*1 + 11*1 + 1*0 + 25=0 (stimmt nicht, Punkt nicht in Ebene)
(4,0,11): -9*4 + 11*0 + 1*11 + 25=0 (stimmt, Punkt liegt auf Ebene)

Alles klar? ;)

[Spasstiger]

Und drei Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn sie nicht alle in derselben Ebene liegen und kein Vektor sich aus der Summe von Vielfachen der anderen Vektoren bilden lässt.
In diesem Fall spannen die Vektoren einen sogenannten Spat auf.

Senkrecht aufeinander stehende Vektoren sind immer linear unabhängig.

Zu Teilaufgabe a)
Falls dir das Auflösen des Gleichungssystem nach r und s für jeweils die drei Punkte zu aufwändig ist, kannst du auch erst deine Ebene auf Hesse-Normalform bringen.

Das geht ganz einfach, du brauchst nur den Normalenvektor n, der senkrecht auf den Richtungsvektoren (2,1,7) und (3,2,5) steht. Es gilt n = (2,1,7) x (3,2,5) = (-9,11,1). (Kreuzprodukt)
Auf die Normierung verzichte ich jetzt bewußt.

Die Hesse Normalform hat die Form n*x=h, wobei x für einen Vektor bestehend aus z.b. (x,y,z) steht.
Es ergibt sich also bisher -9*x+11*y+z=h (Skalarprodukt angewandt).
Nun noch den Ortsvektor (3,0,2) eingesetzt, ergibt h=-25.
Somit hat die Hesse-Normalenform die Gestalt
-9*x+11*y+z=-25

Für x,y und z setzt du nun einfach deine Punkte ein.
Punkt A: -9*8+11*3+1*14=-72+33+14=-25 stimmt => A liegt in der Ebene
Punkt B: -9*1+11*1+1*0=-9+11=2 stimmt nicht => B liegt nicht in der Ebene
Punkt C: -9*4+11*0+1*11=-36+11=-25 stimmt => C liegt in der Ebene

EDIT: papachrischi war schneller :D .

[Marmicon]

danke an alle... habs verstanden... hatte mir das etwas schwieriger vorgstellt ^^ *g*

[Reneval]

Was macht ihr hier eigentlich für kranke Sachen?

Ich bin Mahte-Vollidiot 1. Grades und muß mich schon allein in Statik irgendwie so durchkämpfen.

Naja, sorry für OT.

[Marmicon]

ich hätte da noch eine Frage, da ich etwas nicht verstehe:

Folgende Aufgaben: Geben sie eine Gleichung an für eine Gerade h, die die Gerade g schneidet, eine Gerade i, die zur Geraden g parallel ist, und eine Gerade j, die zur Geraden g windschief ist.

g:x = (1/0/0) + t (7/3/1)

ich meine es zu verstehen, bin mir aber nicht ganz sicher und möchte sichergehen.

[Spasstiger]

ich hätte da noch eine Frage, da ich etwas nicht verstehe:

Folgende Aufgaben: Geben sie eine Gleichung an für eine Gerade h, die die Gerade g schneidet, eine Gerade i, die zur Geraden g parallel ist, und eine Gerade j, die zur Geraden g windschief ist.

g:x = (1/0/0) + t (7/3/1)

ich meine es zu verstehen, bin mir aber nicht ganz sicher und möchte sichergehen.

g: x = (1/0/0) + t * (7/3/1)

1. Gerade h, die g schneidet: h: x = (1/0/0) + r * (1/2/3)

Anstatt (1/2/3) kann man auch beliebige andere Werte außer (7/3/1) nehmen. Mein Beispiel ist eigentlich trivial, da der Schnittpunkt schon in den Geradengleichungen enthalten ist, nämlich (1/0/0).

2. Gerade i, die zur Geraden g parallel ist: i: x = (1/2/3) + s * (7/3/1)

Der Richtungsverktor (7/3/1) muss bleiben, um die Parallelitätsbedingung zu erfüllen, der Aufpunkt - hier (1/2/3) - kann beliebig sein, außer (1/0/0) (dann wären beide Geraden identisch, was ja nicht gewünscht ist).

3. Gerade j, die zur Geraden g windschief ist: j: x = (0/0/1) + u * (1/0/0)

Die Gerade j darf weder gleichen Aufpunkt noch gleichen Richtungsvektor wie g haben. Außerdem dürfen sich die Geraden nicht schneiden. Das kann man prüfen, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt und das LGS löst (z.b. mit Gauss-Verfahren). In meinem Beispiel wäre das LGS nicht lösbar, die Geraden schneiden sich also nicht, sind nicht parallel (verschiedene Richtungsvektoren) und sind somit windschief.

[Marmicon]

g: x = (1/0/0) + t * (7/3/1)

1. Gerade h, die g schneidet: h: x = (1/0/0) + r * (1/2/3)

Anstatt (1/2/3) kann man auch beliebige andere Werte außer (7/3/1) nehmen. Mein Beispiel ist eigentlich trivial, da der Schnittpunkt schon in den Geradengleichungen enthalten ist, nämlich (1/0/0).

2. Gerade i, die zur Geraden g parallel ist: i: x = (1/2/3) + s * (7/3/1)

Der Richtungsverktor (7/3/1) muss bleiben, um die Parallelitätsbedingung zu erfüllen, der Aufpunkt - hier (1/2/3) - kann beliebig sein, außer (1/0/0) (dann wären beide Geraden identisch, was ja nicht gewünscht ist).

3. Gerade j, die zur Geraden g windschief ist: j: x = (0/0/1) + u * (1/0/0)

Die Gerade j darf weder gleichen Aufpunkt noch gleichen Richtungsvektor wie g haben. Außerdem dürfen sich die Geraden nicht schneiden. Das kann man prüfen, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt und das LGS löst (z.b. mit Gauss-Verfahren). In meinem Beispiel wäre das LGS nicht lösbar, die Geraden schneiden sich also nicht, sind nicht parallel (verschiedene Richtungsvektoren) und sind somit windschief.

OK so habe ich es mir auch gedacht, jedoch gab es da eine Aufgabe, die mich verwirrt hat:

Wie muss t€R gewählt werden, damit sich g und h schneiden(windschief sind)?

a.) gx) = (-t/1/-2)+ r (-1/4/2) hx) = (2/6/4t) + s (1/-1/-2)

Damit sich die beiden Geraden schneiden können, müssten die beiden Aufpunkte doch gleich sein, oder etwa nicht? so wie du es auch oben gemacht hast: g: x = (1/0/0) + t * (7/3/1)
1. Gerade h, die g schneidet: h: x = (1/0/0) + r * (1/2/3)

[Spasstiger]

Die Aufpunkte können auch verschieden sein, es ist schon ein spezieller Fall, wenn sich die Geraden genau im Aufpunkt schneiden.

Einfach ein LGS aufstellen und lösen. Hier mal ein Ansatz, drei Gleichungen, drei Unbekannte. Das Lösen bzw. den Beweis, dass es keine Lösung gibt, überlasse ich dir. Du musst halt daran denken, dass du ja die Werte für t suchst, für die es keine Lösung gibt.

-t - r = 2 + s
1 + 4r = 6 - s
-2 + 2r = 4t - 2s

[dogmeat]

Was macht ihr hier eigentlich für kranke Sachen?

Ich bin Mahte-Vollidiot 1. Grades und muß mich schon allein in Statik irgendwie so durchkämpfen.

Naja, sorry für OT.
Naja wenn mans grad in Mathe durchnimmt hat man das so im Kopf. Aber bei mir verschwindet das auch wieder sehr schnell. ;D

[Marmicon]

Die Aufpunkte können auch verschieden sein, es ist schon ein spezieller Fall, wenn sich die Geraden genau im Aufpunkt schneiden.

Einfach ein LGS aufstellen und lösen. Hier mal ein Ansatz, drei Gleichungen, drei Unbekannte. Das Lösen bzw. den Beweis, dass es keine Lösung gibt, überlasse ich dir. Du musst halt daran denken, dass du ja die Werte für t suchst, für die es keine Lösung gibt.

-t - r = 2 + s
1 + 4r = 6 - s
-2 + 2r = 4t - 2s

Hab gerade nacherechnet... kriege als "Ergebnis" keine Lösung (sorry, das ich es hier jetzt nicht ausführe, aber das ist ziemlich viel Tipparbeit)

Das hab ich jetzt auch kapiert... eine Frage hab ich noch:

Da ist eine Frage im Heft, die für mich nicht soviel Sinn macht:

Gibt es für die Variablen a,b,c und d Zahlen, sodass g:x= (1/a/2) + r (b/3/4) und h:x= (c/0/3) + s (3/1/d)

a.) identisch sind b.) zueinander parallel sind c.) sich schneiden d.) zueinander windschief sind?

Laut meinem Wissensstand dürften aufgabe a.) und b.) schon mal nicht möglich sein.. bei c.) und d.) wäre das durch ein LGS zu pruefen... liege ich da richtig?

EDIT: Vielen Dank für deine Hilfe.. hast mir sehr geholfen... und ich Depp sollte mal anfangen, speziell in Mathe konstanter mitzuarbeiten, da man sonst immer soviel nachholen muss :/