quantenphysik-frage (wahrscheinlichkeitswelle)

[(del)]

kann mir jemand erklären, wieso (ψ_max)² die aufenthaltswahrscheinlichkeit eines elektrons angibt? ich sitze seit stunden davor und verstehe es einfach nicht. wir haben dazu nie etwas mathematisch hergeleitet im physikunterricht. ich verstehs nicht. wer hat eine erklärung, die ein MSS13 schüler verstehen kann?

[Hellstaff]

Hmm, vielleicht kann ich dir weiterhelfen.

Was Psi ist weißt du wohl. Das ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Welle in irgendeinem Potenzial. Will man nun herausfinden, wo sich ein Teilchen am wahrscheinlichsten aufhält, muss man die Funktion Psi quadrieren, da Psi komplex (sprich es treten "i's" in der Funktion auf) sein kann. Wie du vielleicht schon weißt, ergibt das Produkt aus einer komplexen (Psi) und konjugiert komplexen Zahl (Psi*) eine reelle Zahl. In unserem Beispiel könnte man |Psi|^2 auch so schreiben: Psi mal Psi*. So wird der Ausdruck reell und man kann die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens an einem Ort angeben.

Hoffe du hast es verstanden,

Mfg Hellstaff

[klutob]

@Hellstaff gute math. Erklärung.
Ich versuche mich mal in einer anschaulichen phys. Deutung.

Um eine physikalisch sinnvolle! Lösung der Schrödingergleichung zu erhalten, wird allg. eine Normierung der Schröd.-Gl. eingeführt. Sie lautet vereinfacht wörtlich: Im gesamten betrachteten Raumbereich, beträgt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (|psi|²(r,t)) eines Elektrons genau 1.
In Abhängigkeit von r und t läßt sich also die Wahrscheinlichkeitsdichte (|psi|²=psi x psi*) eines Elektrons mit Hilfe der Schröd.-Gl. berechnen.

[(del)]

jap, thanks euch beiden. jetzt hab ich's kapiert :)
mfg
bazooka

[Imperator Katarn]

Hmm, vielleicht kann ich dir weiterhelfen.

Was Psi ist weißt du wohl. Das ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Welle in irgendeinem Potenzial. es muß nicht notwendigerweise ein Potential da sein. Für V(x) = x für alle x hat die Schrödinger-Gleichung auch Lösungen (freies Teilchen).

Will man nun herausfinden, wo sich ein Teilchen am wahrscheinlichsten aufhält, muss man die Funktion Psi quadrieren, da Psi komplex (sprich es treten "i's" in der Funktion auf) sein kann.keine sehr überzeugende Argumentation:
1) psi zu quadrieren, also psi^2 zu berechnen, ergibt i.a. noch kein reelles Ergebnis. Was du vermutlich meintest war, das Betragsquadrat |psi|^2 zu berechnen.
2) aus der Forderung, daß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ein reeller Ausdruck benötigt wird, ergibt sich noch nicht, daß dieser gerade |psi|^2 sein muß. |psi| wäre ebenfalls reell, ebenso |psi|^a wenn a irgendeine reelle Konstante ist.

Daß die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (genauer: die Wahrscheinlichkeitsdichte) |psi|^2 ist, dafür gibt es keinen tieferen Grund. Es handelt sich dabei um eines der Grundpostulate der QT.
Sehr wohl kann man angeben, wie die Aufstellung dieses Postulats motiviert war: man kannte aus der Elektrodynamik, daß dort die Strahlungsintensität elektromagnetischer Wellen proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke - also der Wellenauslenkung - ist. Drückt man nun das Schwingungsverhalten einer solchen Welle mit Hilfe der komplexen e-Funktion aus, so erhält man eine komplexe Feldstärke, aus der sich die Intensität dann durch Bildung des Betragsquadrates ergibt.
Die Annahme, daß es eine gewisse Analogie zwischen elektromagnetischen Wellen und der quantenmechanischen Wellenfunktion gibt, führte dann zu dem Postulat, die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (als Analogie zur Strahlungsintensität) sei proportional zum Betragsquadrat der Wellenfunktion (Analogie zur elektrischen Feldstärke).

[Imperator Katarn]

Um eine physikalisch sinnvolle! Lösung der Schrödingergleichung zu erhalten, wird allg. eine Normierung der Schröd.-Gl. eingeführt. Sie lautet vereinfacht wörtlich: Im gesamten betrachteten Raumbereich, beträgt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (|psi|²(r,t)) eines Elektrons genau 1. du meinst das Volumenintegral int d^3r |psi(r,t)|^2 über den gesamten Raum.
Das aber ergibt sich daraus, daß das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte rho(r) gleich 1 sein muß und du für rho(r) das Betragsquadrat |psi(r,t)|^2 einsetzt.
D.h. du setzt bereits als Prämisse voraus, daß die Wahrscheinlichkeitsdichte |psi(r,t)|^2 ist, du begründest es nicht.

[Imperator Katarn]

kann mir jemand erklären, wieso (ψ_max)² die aufenthaltswahrscheinlichkeit eines elektrons angibt? was das psi_max bedeuten soll, ist mir auch nicht so ganz klar. Das Maximum der Wellenfunktion?

ich sitze seit stunden davor und verstehe es einfach nicht. wir haben dazu nie etwas mathematisch hergeleitet im physikunterricht.wie gesagt gibt es dazu nichts herzuleiten, da es eben ein Grundpostulat ist.
Das ist ebensowenig herleitbar wie z.B. in der Newtonschen Mechanik die Newtonschen Axiome, die werden dort einfach als gültig angenommen.

Möglicherweise gehst du - das passiert so manchem Laien - unbewußt davon aus, daß die Beziehungen der Quantenmechanik auf Gesetzmäßigkeiten aus der klassischen Physik zurückführbar sein müßten. Dem ist aber eben nicht so.

[(del)]

@ imperator katarn: genau da lag auch mein verständnisproblem: psi_max ist die maximale amplitude an einer bestimmten stelle, also eigentlich psi.

hab's aber jetzt verstanden, die einleuchtendste erklärung ist die, mit der analogie zur elektrischen feldstärke :)
thanks @ all.

[klutob]

du meinst das Volumenintegral int d^3r |psi(r,t)|^2 über den gesamten Raum...

Ich muß doch nicht das Volumenintegral exakt aufführen, wenn ich die allg. Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsdichte beschreiben möchte.

Sie lautet vereinfacht wörtlich:
Im gesamten betrachteten Raumbereich, beträgt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (|psi|²(r,t)) eines Elektrons genau 1.


Wo ist jetzt die Falschaussage?

Das aber ergibt sich daraus, daß das Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte rho(r) gleich 1 sein muß und du für rho(r) das Betragsquadrat |psi(r,t)|^2 einsetzt.
D.h. du setzt bereits als Prämisse voraus, daß die Wahrscheinlichkeitsdichte |psi(r,t)|^2 ist, du begründest es nicht.


Daß die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (genauer: die Wahrscheinlichkeitsdichte) |psi|^2 ist, dafür gibt es keinen tieferen Grund. Es handelt sich dabei um eines der Grundpostulate der QT.
Eben. :confused:

[klutob]

@ imperator katarn: genau da lag auch mein verständnisproblem: psi_max ist die maximale amplitude an einer bestimmten stelle, also eigentlich psi.

hab's aber jetzt verstanden, die einleuchtendste erklärung ist die, mit der analogie zur elektrischen feldstärke :)
thanks @ all.

Nein und nein.
Psi(_max) hat eben keine physikalische Aussage, nur |psi|²! Es gibt keine helfende Analogie zur elektrischen Feldstärke. Bitte lese dir noch mal folgende Aussage durch und vergleiche mit deinen Rückschlüssen.

Das ist ebensowenig herleitbar wie z.B. in der Newtonschen Mechanik die Newtonschen Axiome, die werden dort einfach als gültig angenommen.
Möglicherweise gehst du - das passiert so manchem Laien - unbewußt davon aus, daß die Beziehungen der Quantenmechanik auf Gesetzmäßigkeiten aus der klassischen Physik zurückführbar sein müßten. Dem ist aber eben nicht so.

[(del)]

mh. ja, das ist mir klar. nur die grundlegende frage war, wie man überhaupt auf psi gekommen ist (wir haben über psi nicht viel gelernt, außer, dass psi zeitlich und räumlich periodisch ist). man hat sich eben das angeschaut, was man über die elektromagnetische welle zu wissen glaubte und hat sich eine wellenfunktion gemacht, die zeitlich und räumlich periotisch ist. wenn man sich jetzt die formeln zur elektromagnetischen welle anschaut, so sieht man, dass die bestrahlungsstärke proportional zum amplitudenquadrat der elektrischen feldstärke ist. daher quadriert man psi um zur aufenthaltswahrscheinlichkeit zu gelangen. oder liege ich da jetzt völlig falsch? mit analogie meinte ich die mathematische beschreibung und nicht, dass psi das selbe ist, wie die elektrische feldstärke

[klutob]

Ja du liegst IMHO ziemlich daneben. Du kannst nicht zwischen QM und klassischer, nicht relativistischer Physik abstrahieren, Analogien ableiten etc.
Es ist IMHO einfacher den Formalismus der QM einmal zu akzeptieren und die Konsequenzen zu berücksichtigen denn, mit den, von der klass. Physik inspirierten, Vermutungen daneben zu liegen.
QM fußt einfach genauso auf Postulaten, die wie die thermodynamischen Haupsätze eine reine Glaubensfrage darstellen. Da gibt es nichts herzuleiten, entweder man glaubt an sie oder man stellt die gesamte "Newtonsche Physik" in Frage.

Hat euer Lehrer nicht einmal die historische Entwicklung der QM umrissen und dabei aufgezeigt warum die im makroskopischen Bereich zutreffenden allg. Leitsätze im Größenbereich eines Atoms absolut versagen?
z.B.
Problem: Absorptions- und Emissionsverhalten eines schwarzen Körpers.
Kirchhoffsches Strahlungsgesetz (http://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsches_Strahlungsgesetz)


Ansatz klass. Elektrodynamik:

Strahlungintensität in Abhängigkeit der Wellenlänge eines schwarzen Körpers stimmt nicht mit den Gesetzen der Elektrodynamik überein.
Rayleigh-Jeans-Gesetz (http://de.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-Jeans-Gesetz)
Wiensches Strahlungsgesetz (http://de.wikipedia.org/wiki/Wiensches_Strahlungsgesetz)


Lösung: Postulierung einer neuen unteilbaren Elementareinheit (Quantum) der Energie (Plancksches Wirkungsquantum).

Plancksches Strahlungsgesetz (http://de.wikipedia.org/wiki/Plancksches_Strahlungsgesetz)

[(del)]

oha, nein, das hat unser lehrer nicht :D. danke, dass du dir die mühe gemacht hast, die ganzen links herauszusuchen :up:

[Imperator Katarn]

Ich muß doch nicht das Volumenintegral exakt aufführen, wenn ich die allg. Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsdichte beschreiben möchte.wenn du von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im gesamten betrachteten Raumbereich sprichst, die 1 sein soll, dann mußt du das schon. Schlicht weil diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit durch das Volumenintegral der Wahrscheinlichkeitsdichte über eben jenen Raumbereich gegeben ist.

Wo ist jetzt die Falschaussage?daß |psi(r,t)|^2 gleich 1 sei. Nicht |psi(r,t)|^2 ist 1, sondern das Volumenintegral davon.

Eben. :confused:d.h. du gibst zu, nicht begründet zu haben, warum die Wahrscheinlichkeitsdichte |psi(r,t)|^2 ist.

[Imperator Katarn]

Nein und nein.
Psi(_max) hat eben keine physikalische Aussage, nur |psi|²! du meinst damit vermutlich, daß psi(r,t) keine meßbare Größe (Observable) ist. Das ist korrekt, heißt aber nicht, daß es nicht eine gewisse Analogie zwischen psi und einer meßbaren Größe wie der elektrischen Feldstärke gibt.

Beispiel:
die Lösungen der Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen sind ebene Wellen der Form:
psi(r,t) = psi_0 exp[i(kr-wt)]
mit k = Wellenzahlvektor, w = Kreisfrequenz und psi_0 = Amplitude.
Analog sind die Lösungen der Maxwell-Gleichungen für das freie EM-Strahlungsfeld ebene Wellen der Form:
E(r,t) = E_0 exp[i(kr-wt)]
wobei E die elektrische Feldstärke ist.

Wichtig ist diese Analogie z.B. in der Quantenfeldtheorie: man betrachtet die Lösung der Schrödingergleichung (in der nichtrelativistischen QFT, in der relativistischen QFT ist es entsprechend die Dirac-Gleichung) nicht als Wellenfunktion, sondern als klassisches Feld, das dann ganz ähnlich wie das elektromagnetische Feld quantisiert wird. Daß das Schrödinger- bzw. Dirac-Feld keine meßbare Größe ist, stört dabei nicht weiter. Daß es komplex ist, hat eigentlich nur den Effekt, daß es zu den vom Feld abgeleiteten Teilchen (Feldquanten) auch Antiteilchen gibt - im Unterschied zu den Quanten eines reellen Feldes wie dem EM-Feld: Photonen haben keine Antiteilchen.

Es gibt keine helfende Analogie zur elektrischen Feldstärke. doch. Gibt es :)

Bitte lese dir noch mal folgende Aussage durch und vergleiche mit deinen Rückschlüssen.da besteht kein Widerspruch. Herleitbarkeit und das Bestehen von Analogien ist nicht dasselbe.

[Imperator Katarn]

Ja du liegst IMHO ziemlich daneben. Du kannst nicht zwischen QM und klassischer, nicht relativistischer Physik abstrahieren, Analogien ableiten etc.na klar kannst du das. Du kannst nicht das eine aus dem anderen herleiten, das ist korrekt, sehr wohl aber kannst du Analogieüberlegungen anstellen.

Es ist IMHO einfacher den Formalismus der QM einmal zu akzeptieren das schließt nicht aus, sich anzuschauen, wie die Aufstellung dieses Formalismus historich gesehen motiviert war und welche Analogien da benutzt wurden, sowie welche Analogien es zwischen diesem und anderen Formalismen gibt.

und die Konsequenzen zu berücksichtigen denn, mit den, von der klass. Physik inspirierten, Vermutungen daneben zu liegen.wäre mir neu, daß man mit der Vermutung, |psi(r,t)|^2 sei die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte, daneben liegen würde.

QM fußt einfach genauso auf Postulaten, das ist kein Widerspruch dazu, daß die Aufstellung dieser Postulate durch Analogien motiviert war.
Und es schließt auch nicht aus, daß hinter einer Analogie ein tieferer Zusammenhang steckt, wie es sich in der QFT für die Wellenfunktion und elektromagnetische Wellen herausstellt: die QFT liefert einen Formalismus, der auf Materiefelder (Schrödinger/Dirac) ebenso anwendbar ist wie auf das EM-Feld.

die wie die thermodynamischen Haupsätze eine reine Glaubensfrage darstellen. Da gibt es nichts herzuleiten, aber Analogien zu erkennen.

Hat euer Lehrer nicht einmal die historische Entwicklung der QM umrissen und dabei aufgezeigt warum die im makroskopischen Bereich zutreffenden allg. Leitsätze im Größenbereich eines Atoms absolut versagen?
z.B.
Problem: Absorptions- und Emissionsverhalten eines schwarzen Körpers.[...]jetzt sprichst du von der Quantentheorie des Lichts, wie sie von Planck entwickelt wurde. Die hat mit der QM noch nicht sehr viel zu tun, insbesondere kommt in ihr keine Wellenfunktion, kein Betragsquadrat und keine Aufenthaltswahrscheinlichkeit vor.

Der Schritt zur Quantenmechanik wurde von de Broglie in den 20er Jahren gemacht: quasi in Umkehrung zu Plancks Idee, Wellen Teilcheneigenschaften zuzuschreiben, nahm er an, daß Materieteilchen wie Elektronen Welleneigenschaften besitzen. Die in vielfacher Hinsicht den Leitsätzen der klassischen Wellenlehre gehorchen. In de Broglies Atommodell waren für die Elektronen genau solche Bahnen erlaubt, auf denen die Welleneigenschaften nicht zu destruktiver Interferenz führten und sich stehende Wellen ausbilden konnten.

Schrödinger änderte am Atommodell zwar noch einiges ab, die Analogie zur klassischen Wellenlehre blieb dabei aber erhalten. Z.B. ist die Heisenbergsche Unschärferelation im Grunde etwas, das in der Wellenlehre schon viel früher bekannt war: ein klassisches Wellenpaket ist umso stärker lokalisiert, je breiter sein Frequenz- respektive Wellenzahlspektrum ist. Das einzige was die QM dann noch tut ist die Wellenzahl mit dem Impuls in Verbindung zu bringen.

Lösung: Postulierung einer neuen unteilbaren Elementareinheit (Quantum) der Energie (Plancksches Wirkungsquantum).[/URL]falsch. Planck hat keine Elementareinheit der Energie postuliert. Die Energie einer Mode des Strahlungsfeldes hat eine Elementareinheit, nämlich h*f, wobei f die Frequenz der Mode ist. Da es aber Moden mit beliebig kleinen Frequenzen gibt, d.h. f Element der Menge [0,oo] ist, sind auch beliebig kleine Energieportionen möglich.
Es heißt ja auch Plancksches Wirkungsquantum, nicht Energiequantum.

Und bei Planck galt das ganze auch erst mal nur für das freie elektromagnetische Strahlungsfeld und sonst nichts. In der QFT gilt das dann auch für andere Felder, aber auch da wieder nur im asymptotisch freien Fall, und nach deinen Maßstäben ist das ja eh nur ein illegitimer Analogieschluß.