Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Kanalkapazität: Shannon- vs. Nyquist-Formel?
Bekanntlich gilt für die maximale Datenübertragungsrate C auf einem ungestörten Kanal mit der Frequenzbandbreite H bei einer Signalwertigkeit V nach Nyquist:
C = 2 H log2(V)
Anschaulich gesprochen: überträgt man Information in Form von Symbolen zu je log2(V) Bit, und codiert man jedes Symbol als Nyquist-Puls der Bandbreite H, so hat jeder Puls die Länge einer Halbwelle der Grenzfrequenz f_max = H, so daß man 2 H Symbole übertragen kann (z.B. H = 1000 Hz -> 2000 Symbole/s).
Nach Shannon gilt auf einem verrauschten Kanal:
C = H log2(1 + S/N)
wobei S/N das Signal-Rausch-Verhältnis ist. Beide Formeln finden sich z.B. in
http://www.rrzn.uni-hannover.de/fileadmin/ful/vorlesungen/rechnernetze_1/ws_0506/rechnernetze_I_2_ws0506.pdf
Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie hängen die beiden Formeln zusammen? Es erscheint naheliegend, daß das Signal-Rausch-Verhältnis S/N (Shannon) eine obere Begrenzung für die Signalwertigkeit V (Nyquist) liefert: wählt man V zu groß, wird der Abstand zwischen zwei Signalstufen zu klein und geht im Rauschen unter. Spontan würde man darauf tippen, daß es eine Beziehung der Art
V <= 1 + S/N
gibt, d.h. der minimal wählbare Abstand zwischen zwei Signalstufen gleich der Rauschamplitude N sei. Und folglich im Intervall [0,S] maximal 1 + S/N Signalstufen realisierbar seien.
Eine Kombination der beiden Formeln (unter der Annahme C_Shannon sei eine obere Begrenzung für C_Nyquist) deutet aber auf etwas anderes hin:
C_Nyquist <= C_Shannon
<=> 2 H log2(V) <= H log2(1 + S/N)
<=> 2 log2(V) <= log2(1 + S/N)
<=> V^2 <= 1 + S/N
<=> V <= sqrt(1 + S/N)
Weil in der Shannon-Formel der Faktor 2 fehlt, wird nicht V auf 1+S/N begrenzt, sonder V^2. Im o.g. Link findet sich dazu auch eine Rechnung: bei einem 56K-Modem, daß ein 3kHz-Band des analogen Telefonanschlusses nutzt, wird eine Signalwertigkeit V = 643 benötigt (9.33 Bit/Symbol), aber ein Signal-Rausch-Verhältnis von S/N = 416127.
Ist dieses eigenartig anmutende Verhältnis der Größen V und S/N irgendwie anschaulich einsichtig? Ist es vielleicht so, daß mit größer werdender Signalwertigkeit das Verhältnis des Abstandes zweier Signalstufen zur Rauschamplitude besser werden muß? Oder ist es vielleicht aus irgendwelchen Gründen unzulässig, die beiden Formeln in der angedachten Weise zu kombinieren? Sicherlich, die eine Formel ist für einen ungestörten Kanal, die andere für einen gestörten, aber auch beim gestörten Kanal hat man doch eine Übertragung mit Symbolen einer bestimmten Wertigkeit V, und diese sollte doch irgendwie durch das Rauschen begrenzt sein?
Landmann
2006-08-25, 21:39:16
Nyquist gibt Dir doch keine Begrenzung sondern definiert nur, wie die Uebertragungsrate mit dem verfuegbaren Frequenzbereich zusammen haengt (bei Signalformen, die der ersten? Nyquistbedingung genuegen). Je genauer diese abgetastet werden koennen, desto hoeher ist die Uebertragungsrate (weil dann immer "groessere" Symbole , d.h. mehr Amplitudenstufen) verwendet werden koennen. Das kann dann Richtung oo gehen.
Shannon definiert Dir dagegen das maximal Moegliche auf einem (gauss)verrauschtem Kanal, ohne jedoch nur einen Pieps ueber die dazu zu verwenden Signalformen der Sendepulse zu verlieren, m.E. muessen diese nichtmal der Nyquistbedingung genuegen.
Naja, ist schon ein Weilchen her bei mir mit der Nachrichtenuebertragung :/
Nyquist gibt Dir doch keine Begrenzung sondern definiert nur, wie die Uebertragungsrate mit dem verfuegbaren Frequenzbereich zusammen haengt (bei Signalformen, die der ersten? Nyquistbedingung genuegen). Je genauer diese abgetastet werden koennen, desto hoeher ist die Uebertragungsrate (weil dann immer "groessere" Symbole , d.h. mehr Amplitudenstufen) verwendet werden koennen. Das kann dann Richtung oo gehen.
Shannon definiert Dir dagegen das maximal Moegliche auf einem (gauss)verrauschtem Kanal, ohne jedoch nur einen Pieps ueber die dazu zu verwenden Signalformen der Sendepulse zu verlierenrichtig, und das bedeutet, auf einem verrauschten Kanal einer gegebenen Bandbreite H und einem gegebenen Signal-Rausch-Verhältnis S/N kann eine maximale Übertragungsrate C_max = C_Shannon nicht überschritten werden.
Daraus aber folgt, daß diese Begrenzung selbstverständlich auch für eine Übertragung mit Nyquist-Pulsen gelten muß.
Da aber bei Übertragung mit Nyquist-Pulsen einer gegebenen Signalwertigkeit V C_max = C_Nyquist gilt, muß
N_Nyquist <= C_Shannon
gelten, da C_Shannon die obere Grenze ist. Anders gesagt: die Signalwertigkeit V wird begrenzt durch die vom Signal-Rausch-Verhältnis maximal zugelassene Übertragungsrate. Die Signalwertigkeit kann nicht so groß gemacht werden, daß C_Nyquist > C_Shannon wird.
Du hast recht damit, daß Nyquist keine Begrenzung liefert, aber Shannon liefert eine Begrenzung, und die ist auch für Nyquist verbindlich.
Bekanntlich gilt für die maximale Datenübertragungsrate C auf einem ungestörten Kanal mit der Frequenzbandbreite H bei einer Signalwertigkeit V nach Nyquist:
C = 2 H log2(V)
Anschaulich gesprochen: überträgt man Information in Form von Symbolen zu je log2(V) Bit, und codiert man jedes Symbol als Nyquist-Puls der Bandbreite H, so hat jeder Puls die Länge einer Halbwelle der Grenzfrequenz f_max = H, so daß man 2 H Symbole übertragen kann (z.B. H = 1000 Hz -> 2000 Symbole/s).
Nach Shannon gilt auf einem verrauschten Kanal:
C = H log2(1 + S/N)
Das sind doch zwei unterschiedliche Fälle. Ich hab's mal hervorgehoben.
Wenn der Kanal ungestört ist, dann ist S/N quasie unendlich groß und somit (weil der Logarithmus streng monoton wächst) ist auch die maximal mögliche Kanalkapazität unendlich groß (vorausgesetzt die Bandbreite ist nicht Null). D.h. Shannon schrenkt Nyquist gar nicht ein.
Das sind doch zwei unterschiedliche Fälle. Ich hab's mal hervorgehoben.es ist zwar richtig, daß die Nyquist-Formel ursprünglich für den ungestörten Kanal aufgestellt wurde, das heißt aber nicht, daß sie nicht auf den gestörten Kanal übertragbar ist: das Vorhandensein von Rauschen ändert ja nichts daran, daß ein Signal als Folge von Nyquist-Pulsen mit V möglichen Signalstufen codiert werden kann. Die Nyquist-Beziehung zwischen Übertragungsrate und Signalwertigkeit sollte daher auch für den verrauschten Kanal gelten, wobei dort lediglich die Übertragungsrate durch das Signal-Rausch-Verhältnis begrenzt ist, und damit auch die maximal realisierbare Signalwertigkeit.
Wenn der Kanal ungestört ist, dann ist S/N quasie unendlich groß und somit (weil der Logarithmus streng monoton wächst) ist auch die maximal mögliche Kanalkapazität unendlich großweil die Signalwertigkeit beliebig groß wählbar ist, da nicht durch S/N begrenzt.
Botcruscher
2006-08-27, 10:47:13
weil die Signalwertigkeit beliebig groß wählbar ist, da nicht durch S/N begrenzt.
Eben. Die SNR giebt dir ja an was von der ursprünglichen Signalstärke -Noise(Rauschen) noch übrig und somit nutzbar ist.
es ist zwar richtig, daß die Nyquist-Formel ursprünglich für den ungestörten Kanal aufgestellt wurde, das heißt aber nicht, daß sie nicht auf den gestörten Kanal übertragbar ist:
Doch, genau das heißt das. Die Nyquist-Formel enthält keinen Term, der eine Kanalstörung beschreibt, sie ist also nicht auf gestörte Kanäle anwendbar.
Die Annahme C_Nyquist <= C_Shannon ist auch falsch, weil die Kapazität eines ungstörten Kanals immer grösser ist als die eines gestörten Kanals.
Es müsste also C_Nyquist > C_Shannon lauten und wenn du damit deine Rechnung nochmal durchführst wirst du sehen, daß es keinen Sinn macht, diese beiden Formeln zu verknüpfen.
Eben. Die SNR giebt dir ja an was von der ursprünglichen Signalstärke -Noise(Rauschen) noch übrig und somit nutzbar ist.was auf die Beziehung V <= 1 + S/N schließen ließe. Die Kombination von Nyquist und Shannon liefert aber V <= sqrt(1 + S/N).
Doch, genau das heißt das. Die Nyquist-Formel enthält keinen Term, der eine Kanalstörung beschreibt, sie ist also nicht auf gestörte Kanäle anwendbar.ein wenig stichhaltiges Argument.
Eine Formel, die die Geschwindigkeit eines Autos als Funktion von Motordrehzahl, Getriebeübersetzung und Abrollumfang der Räder beschreibt, enthält auch keinen Term, der eine Begrenzung der Geschwindigkeit durch äußere Einflüsse (Lufttreibung, Rollreibung der Reifen, mechanische Belastbarkeit des Getriebes) beschreibt. Trotzdem ist sie auf Autos mit endlicher Höchstgeschwindigkeit anwendbar. Die Begrenzung der Geschwindigkeit wird dann einfach - bei vorgegebener Getriebeübersetzung - zu einer Begrenzung der Motordrehzahl.
Ebenso ist nicht einzusehen, warum die Nyquist-Beziehung zwischen Übertragungsrate, Bandbreite und Signalwertigkeit nicht auch auf gestörten Kanälen gelten sollte. Das läßt sich sogar sehr einfach empirisch belegen: ISDN z.B. verwendet eine Signalwertigkeit V=4, eine Bandbreite H = 80 kHz, und gestattet somit eine Übertragungsrate von 160 kBit/s, und das auf einer sicherlich nicht absolut ungestörten Leitung.
Die Begrenzung der Übertragungsrate bedeutet dann einfach eine Begrenzung der Signalwertigkeit.
Die Annahme C_Nyquist <= C_Shannon ist auch falsch, weil die Kapazität eines ungstörten Kanals immer grösser ist als die eines gestörten Kanals.
Es müsste also C_Nyquist > C_Shannon lauten keineswegs, denn der ungestörte Kanal bedeutet ja S/N -> oo und damit C_Shannon -> oo. Man erhielte also wieder C_Nyquist <= C_Shannon.
C_Shannon gibt an, welche Übertragungsrate die physikalischen Gegebenheiten, sprich: das Signal-Rausch-Verhältnis, maximal zulassen. Auf dem ungestörten Kanal ist das einfach unendlich. C_Nyquist gibt an, wieviel man davon tatsächlich nutzen kann, wenn man eine bestimmte Signalwertigkeit verwendet.
Um nochmal die Auto-Analogie zu bemühen: C_Shannon ist die in den Fahrzeugpapieren eingetragene Höchstgeschwindigkeit deines Autos. C_Nyquist gibt an, wie schnell dein Auto bei einer bestimmten Getriebeübersetzung bei einer bestimmten Motordrehzahl tatsächlich fährt.
Selbst wenn man annehmen würde, daß Nyquist auf dem gestörten Kanal nicht gilt, so würde sich die Frage stellen, was denn stattdessen gilt? Die Shannon-Formel kann keinen Ersatz für Nyquist bieten, sie gibt ja nur an, welche Übertragungsrate durch das Signal-Rausch-Verhältnis maximal zugelassen wird. Will man die Übertragungsrate berechnen, die man bei einer gegebenen Signalwertigkeit erreicht (z.B. V=4 bei ISDN), liefert einem Shannon kein Ergebnis, da sie keine Aussage über den Zusammenhang zwischen Signalwertigkeit und Übertragungsrate macht. Man bräuchte also eine weitere Formel.
Doch, genau das heißt das. Die Nyquist-Formel enthält keinen Term, der eine Kanalstörung beschreibt,mir ist gerade aufgefallen, daß das so gar nicht stimmt!
Tatsächlich enthält die Nyquist-Formel einen Term, der Störungen berücksichtigt, nämlich gerade die Signalwertigkeit V. Die wird nämlich durch das Signal-Rausch-Verhältnis begrenzt.
Meine eingangs aufgeworfene Fragestellung läuft im Grunde darauf hinaus, daß es möglich ist, eine Formel für die maximale Signalwertigkeit V_max auf einem Kanal mit dem Signal-Rausch-Verhältnis S/N aufzustellen, und durch Einsetzen dieses V_max in die Nyquist-Formel die Shannon-Formel herzuleiten.
Die Annahme C_Nyquist <= C_Shannon ist auch falsch, weil die Kapazität eines ungstörten Kanals immer grösser ist als die eines gestörten Kanals.
Es müsste also C_Nyquist > C_Shannon lautennoch ein Nachtrag: du vergleichst hier C_Nyquist_ungestört mit C_Shannon_gestört, und das macht tatsächlich keinen Sinn: sinnvoll ist der Vergleich immer nur bei gleichem Signal-Rausch-Verhältnis.
Auch ist keinswegs immer C_Nyquist_ungestört > C_Shannon_gestört: der ungestörte Kanal erlaubt dir zwar eine beliebig hohe Signalwertigkeit, aber das heißt ja nicht daß du sie auch nutzt. Vielleicht stehst du ja auf einbittige Symbole, und nimmst daher V=2. Dann ist deine Übertragungsrate nach Nyquist C_Nyquist_ungestört = 2H log2(2) = 2H. Jemand anderes hat einen gestörten Kanal mit S/N = 1000, und nutzt dessen Übertragungsrate voll aus, und hat demnach nach Shannon C = H log2(1+S/N) = H log2(1001) = 9.967 H, also (bei als gleich angenommener Bandbreite) fast 5mal so viel wie dein Kanal.
mir ist gerade aufgefallen, daß das so gar nicht stimmt!
Tatsächlich enthält die Nyquist-Formel einen Term, der Störungen berücksichtigt, nämlich gerade die Signalwertigkeit V. Die wird nämlich durch das Signal-Rausch-Verhältnis begrenzt.
Die Signalwertigkeit ist aber nicht begrenzt bei Nyquist, weil es sich um einen ungestörten Kanal handelt, also S/N unbegrenzt gross ist.
Meine eingangs aufgeworfene Fragestellung läuft im Grunde darauf hinaus, daß es möglich ist, eine Formel für die maximale Signalwertigkeit V_max auf einem Kanal mit dem Signal-Rausch-Verhältnis S/N aufzustellen, und durch Einsetzen dieses V_max in die Nyquist-Formel die Shannon-Formel herzuleiten.
Das ist mir schon klar, aber wenn das ginge, dann würde man ja wohl nicht mit 2 unterschiedlichen Formeln (Nyquist und Shannon) rechnen, sondern man hätte nur eine Formel als deren Grenzwert sich die andere ergeben würde.
noch ein Nachtrag: du vergleichst hier C_Nyquist_ungestört mit C_Shannon_gestört, und das macht tatsächlich keinen Sinn: sinnvoll ist der Vergleich immer nur bei gleichem Signal-Rausch-Verhältnis.
Wie willst du gleiches S/N annehmen, wenn S/N in der Nyquist Formel gar nicht vorkommt?
Ein Zusammenhang zwischen V und S/N lässt sich nicht aus diesen beiden Formel herleiten.
Auch ist keinswegs immer C_Nyquist_ungestört > C_Shannon_gestört: der ungestörte Kanal erlaubt dir zwar eine beliebig hohe Signalwertigkeit, aber das heißt ja nicht daß du sie auch nutzt. Vielleicht stehst du ja auf einbittige Symbole, und nimmst daher V=2. Dann ist deine Übertragungsrate nach Nyquist C_Nyquist_ungestört = 2H log2(2) = 2H. Jemand anderes hat einen gestörten Kanal mit S/N = 1000, und nutzt dessen Übertragungsrate voll aus, und hat demnach nach Shannon C = H log2(1+S/N) = H log2(1001) = 9.967 H, also (bei als gleich angenommener Bandbreite) fast 5mal so viel wie dein Kanal.
Oben forderst du gleiches S/N (was ja bei Nyquist gar nicht definiert ist) und jetzt limitierst du willkürlich V (welches bei Shannon nicht definiert ist) beim Nyquist-Kanal? So langsam sollte dir anhand deiner Rechnerei aufgehen, dass sich diese Formen nicht vereinigen lassen.
Die Signalwertigkeit ist aber nicht begrenzt bei Nyquist, weil es sich um einen ungestörten Kanal handelt, also S/N unbegrenzt gross ist.die Rede war von einem gestörten Kanal, wo S/N die Signalwertigkeit begrenzt.
Das ist mir schon klar, aber wenn das ginge, dann würde man ja wohl nicht mit 2 unterschiedlichen Formeln (Nyquist und Shannon) rechnen, sondern man hätte nur eine Formel als deren Grenzwert sich die andere ergeben würde.es macht Sinn zwei Formeln zu haben, weil sie unterschiedliche Dinge aussagen:
Shannon gibt die physikalische Begrenzung der Übertragungsrate durch das Signal-Rausch-Verhältnis an, Nyquist gibt an, wie groß die Übertragungsrate tatsächlich ist, wenn du eine bestimmte Signalwertigkeit einstellst.
Auf die Auto-Analogie übertragen: Nyquist sagt dir wie schnell du fährst, wenn du den Motor auf eine bestimmte Drehzahl bringst, Shannon sagt dir, wie groß die Motordrehzahl maximal werden kann.
Es würde daher auch keinen Sinn machen, die eine Formel als Grenzfall der anderen zu betrachten.
Wie willst du gleiches S/N annehmen, wenn S/N in der Nyquist Formel gar nicht vorkommt?bei Nyquist kommt V vor, und V ist begrenzt durch S/N.
Oben forderst du gleiches S/N (was ja bei Nyquist gar nicht definiert ist) und jetzt limitierst du willkürlich V (welches bei Shannon nicht definiert ist) beim Nyquist-Kanal? ich limitiere V nicht. V ist bei Nyquist ein frei wählbarer Parameter, man kann also auch V=2 wählen.
Mit einem hypothetischen Auto, das unbegrenzt schnell fahren kann, kannst du ja auch mir nur 50 km/h fahren wenn du Lust dazu hast.
Auch weiß ich nicht wie du auf die Idee kommst, V sei bei Shannon nicht definiert. Auf einem gestörten Kanal gibt es definitiv eine Signalwertigkeit.
So langsam sollte dir anhand deiner Rechnerei aufgehen, dass sich diese Formen nicht vereinigen lassen.nein, geht mir überhaupt nicht auf. Sehr wohl aber geht mir auf, daß du den unterschiedlichen Aussagegehalt der beiden Formeln nicht bemerkst.
um hier nochmal anzuknüpfen...
Doch, genau das heißt das. Die Nyquist-Formel enthält keinen Term, der eine Kanalstörung beschreibt, sie ist also nicht auf gestörte Kanäle anwendbar.eine interessante Argumentation, denken wir sie mal weiter: genauso wie die Nyquist-Formel keinen Term enthält, der Kanalstörungen berücksichtigt, enthält auch die Shannon-Formel keinen Term, der ein bei realen Kanälen gängiges Phänomen beschreibt, nämlich eine frequenzabhängige Übertragungsfunktion.
In der Shannon-Formel treten die Frequenzbandbreite und das Signal-Rausch-Verhältnis als unabhängig einstellbare Parameter auf. Bei realen Kanälen aber sind sie das nicht. Reale Kanäle haben z.B. häufig ein Tiefpaßfilter-Verhalten: der Betrag der Übertragungsfunktion nimmt bei hohen Frequenzen stark ab, d.h. hohe Frequenzen werden viel stärker gedämpft als niedrige. Bei konstanter Rauschamplitude bedeutet daß, daß das S/N-Verhältnis bei hohen Frequenzen sehr viel schlechter wird, da S stark gedämpft wird.
Die nutzbare Bandbreite des Kanals wird dadurch beschränkt, Stichwort: Impulsantwort.
Die Shannon-Formel berücksichtigt ein solches Verhalten nicht, und nach deiner Logik bedeutet das, daß sie auf Kanäle mit frequenzabhängiger Übertragungsfunktion nicht anwendbar ist.
Natürlich könnte man jetzt argumentieren, daß man bei einem Kanal mit Tiefpaßverhalten einfach die maximale Bandbreite nehmen und in die Shannon-Formel einsetzen könnte.
Genauso könnte man aber argumentieren, daß man bei einem verrauschten Kanal einfach die maximale Signalwertigkeit nehmen und in die Nyquist-Formel einsetzen könnte. Das aber wird ja von dir strikt abgelehnt.
Natürlich könnte man jetzt argumentieren, daß man bei einem Kanal mit Tiefpaßverhalten einfach die maximale Bandbreite nehmen und in die Shannon-Formel einsetzen könnte.
Wieso könnte? Das ist die einzige richtige Interpretation. Du kannst doch als Bandbreite des Kanals keinen Wert einsetzen, der die Bandbreite des Kanals übersteigt. Du kannst nur jeden beliebigen Wert unterhalb der maximalen Bandbreite des Kanals einsetzen. In Shannon wird also sehr wohl der Tiefpasscharakter eines Kanals beruecksichtigt.
Genauso könnte man aber argumentieren, daß man bei einem verrauschten Kanal einfach die maximale Signalwertigkeit nehmen und in die Nyquist-Formel einsetzen könnte. Das aber wird ja von dir strikt abgelehnt.
Nicht nur ich lehne das strikt ab. Man kann die Formeln einfach nicht ineinander überführen.
Wieso könnte? Das ist die einzige richtige Interpretation. nun, denken wir diesen Gedanken einmal weiter:
Du kannst doch als Bandbreite des Kanals keinen Wert einsetzen, der die Bandbreite des Kanals übersteigt. genauso wie du für die Signalwertigkeit in der Nyquist-Formel keinen Wert einsetzen kannst, der das Signal-Rausch-Verhältnis übersteigt.
Du kannst nur jeden beliebigen Wert unterhalb der maximalen Bandbreite des Kanals einsetzen.genauso wie du in die Nyquist-Formel für die Signalwertigkeit nur jeden beliebigen Wert unterhalb der maximalen (durch das Signal-Rausch-Verhältnis vorgegebenen) Signalwertigkeit einsetzen kannst. (*)
In Shannon wird also sehr wohl der Tiefpasscharakter eines Kanals beruecksichtigt.genauso wie in Nyquist also sehr wohl das Rauschen auf dem Kanal berücksichtigt wird.
Nicht nur ich lehne das strikt ab. Man kann die Formeln einfach nicht ineinander überführen.hat es einen besonderen Grund, daß du nicht auf meine Argumentation eingehst, sondern nur deine These - ohne Begründung - rezitierst? Zur Erinnerung: meine Argumentation lautete: genauso wenig oder genauso sehr wie Nyquist einen Term enthält, der das Rauschen berücksichtigt, enthält Shannon einen Term, der das Tiefpaßverhalten berücksichtigt.
(*) ist schon eigenartig: wenn ich in Nyquist für die Signalwertigkeit einen beliebigen Wert unterhalb des Maximalwertes einsetze, unterstellst du mir, die Signalwertigkeit willkürlich zu begrenzen. Jetzt gehst du selbst hin und willst bei Shannon für die Bandbreite einen beliebigen Wert unterhalb des Maximalwertes einsetzen. Nach deiner eigenen Logik bedeutet das, daß du also die Bandbreite willkürlich begrenzt. Warum um alles in Welt tust du das?
laß es mich kürzer und prägnanter formulieren:
wenn du sagst, daß die Shannon-Formel ein Tiefpaßverhalten berücksichtigt, indem für die Bandbreite kein höherer Wert als der vom Tiefpaßcharakter maximal zugelassene eingesetzt werden darf,
inwiefern ist es dann nicht auch so,
daß die Nyquist-Formel das Rauschen berücksichtigt, indem für die Signalwertigkeit kein höherer Wert als der vom Signal-Rausch-Verhältnis maximal zugelassene eingesetzt werden darf?
hab des Rätsels Lösung gefunden =)
Wie man auf http://de.wikipedia.org/wiki/Shannon-Hartley-Gesetz nachlesen kann, kann man die Shannon-Formel tatsächlich wie vermutet dadurch herleiten, daß man die durch das Signal-Verhältnis begrenzte Signalwertigkeit in die Nyquist-Formel einsetzt. Insbesondere in Kapitel 3.2 "Übertragung im rauschgestörten Kanal", 3.2.1 "Geometrie der Signalpunkte" und 3.2.2 "Zufällige Konfiguration" wird gezeigt, daß die Anzahl B der Bits pro Symbol begrenzt wird durch:
2 H B <= H log2 (1 + S/N)
<=> B <= 1/2 log2 (1 + S/N)
(man beachte die unterschiedliche Verwendung von Formelzeichen, im Artikel steht W statt H, und P/N statt S/N, ich habe die bisherige Schreibweise aus diesem Thread fortgeführt statt die aus dem Artikel zu übernehmen). Für die Begrenzung der Signalwertigkeit V = 2^B gilt damit:
V <= (1 + S/N)^1/2 = sqrt(1 + S/N)
was ja mit dem übereinstimmt, was ich bereits aus dem Vergleich von Nyquist- und Shannon-Formel extrahiert hatte.
Das Auftreten der Wurzel, über das ich mich ja so gewundert hatte, kommt ganz einfach daher, daß S und N nicht - wie von mir angenommen - die Signal- und Rausch-Amplitude sind, sondern die Signal- und Rausch-Leistung, welche quadratisch mit der Amplitude ist :)
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