Warum hat ein uneigentliches Integral einen endlichen Flächeninhalt?

[Misda]

Hallo,

Frage steht oben. Die mathematische Grundlage dazu hab ich verstanden, aber kann mir trotzdem jemand mit einfachen Worten erklären, warum ein unendliche offenes Integral einen endlichen Flächeninhalt haben kann? Da hats bei mir irgendwie noch net Klick gemacht. Danke!

[Gnafoo]

Ja das hat mich auch immer gestört, weil man anschaulich gesehen immer noch ein bisschen mehr Fläche dazupacken kann, also unendlich oft was zur bisher betrachteten Fläche ergänzen kann.

Allerdings wird das Stückchen, welches man noch ergänzen kann immer kleiner und zwar so, dass eine bestimmte Grenze nie überschritten werden kann. Stell dir mal einen Funktionsgraphen vor, der bei y=1 eine Asymptote hat, an die sich von unten der Funktionsgraph anschmiegt. Die Funktion wird nie den Wert y=1 erreichen, aber egal wo du stehst, du kannst trotzdem noch ein Quentchen mehr auf den Funktionswert draufpacken.

Du kannst dir den Funktionsgraphen auch gleich als den Graphen einer Funktion vorstellen, welche den Flächeninhalt beschreibt. Es geht immer noch ein bisschen mehr, aber nie so viel, dass ein Flächeninhalt von 1 erreicht wird.

So ähnlich stelle ich mir das mit dem uneigentlichen Integral auch vor. Aber keine Ahnung, ob dir das weiterhilft ;). Letztlich gibt das Integral ja auch nicht die Fläche an, sondern nur die Grenze, welche von der Flächenfunktion nie ganz erreicht wird.

[Kenny1702]

Das ist im Kern ein ähnliches Vorstellungsproblem wie das Paradoxon von Achilles (http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkröte).

[Oberon]

Das Integral selber ist nicht der Flächeninhalt.
Sein Grenzwert für x --> unendlich /-unendlich etc. beschreibt den Flächeninhalt.
Das heißt, den Flächeninhalt würdest du ja als Ergebnis real nur erhalten, wenn du unendlich einsetzt. Aber das ist ja so konkret nicht möglich.
Daher lässt sich nur ein Grenzwert berechnen, d.h. die maximal mögliche Fläche. Das darf man so nicht ohne weiteres als konkreten Wert ansehen, denn sonst ist das verwirrend.
Ist jetzt sehr schwammig ausgedrückt, aber vielleicht hilft dir das beim Verständnis.

[Monger]

Das mit den Grenzwerten ist ja so eine Sache.

Vielleicht kennst du auch dieses Beispiel mit den Quadraten:
Angenommen du hast ein Quadrat mit - sagen wir mal - einen Meter Seitenlänge. Jetzt halbierst du jeweils die Kantenlänge, und rechnest den Flächeninhalt zusammen. Heraus kommt eine Zahlenfolge, die so aussieht:

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...

Und diese Zahlenfolge wird zusammenaddiert niemals größer als 2.

Ich weiß nicht, ob es dafür eine anschauliche Erklärung gibt. Manche mathematische Erkenntnisse widersprechen halt völlig dem menschlichen Gefühl. Im Endeffekt ist es so, als würdest du einen Kuchen in immer kleinere Stückchen schneiden. Egal wie klein du die Stücke auch schneidest - zusammengenommen ergeben sie nie mehr als den ganzen Kuchen.

[Mackg]

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...

Und diese Zahlenfolge wird zusammenaddiert niemals größer als 2.


Deine beschriebene Reihe konvergiert natürlich gegen 4/3,
1+1/2+1/4+1/8... konvergiert gegen 2

[TheGamer]

Und diese Zahlenfolge wird zusammenaddiert niemals größer als 2.



Nein 1,33333333333 = 4/3 -> du vervierfachst den divisor

1/1 = 1.000000 -> Limit of sequence: 1.000000
1/4 = 0.250000 -> Limit of sequence: 1.250000
1/16 = 0.062500 -> Limit of sequence: 1.312500
1/64 = 0.015625 -> Limit of sequence: 1.328125
1/256 = 0.003906 -> Limit of sequence: 1.332031
1/1024 = 0.000977 -> Limit of sequence: 1.333008
1/4096 = 0.000244 -> Limit of sequence: 1.333252
1/16384 = 0.000061 -> Limit of sequence: 1.333313
1/65536 = 0.000015 -> Limit of sequence: 1.333328
1/262144 = 0.000004 -> Limit of sequence: 1.333332
1/1048576 = 0.000001 -> Limit of sequence: 1.333333
1/4194304 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/16777216 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/67108864 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/268435456 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/1073741824 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/0 = inf -> Limit of sequence: inf
1/0 = inf -> Limit of sequence: inf
1/0 = inf -> Limit of sequence: inf

bei 2 verdoppelst du ihn

1/1 = 1.000000 -> Limit of sequence: 1.000000
1/2 = 0.500000 -> Limit of sequence: 1.500000
1/4 = 0.250000 -> Limit of sequence: 1.750000
1/8 = 0.125000 -> Limit of sequence: 1.875000
1/16 = 0.062500 -> Limit of sequence: 1.937500
1/32 = 0.031250 -> Limit of sequence: 1.968750
1/64 = 0.015625 -> Limit of sequence: 1.984375
1/128 = 0.007812 -> Limit of sequence: 1.992188
1/256 = 0.003906 -> Limit of sequence: 1.996094
1/512 = 0.001953 -> Limit of sequence: 1.998047
1/1024 = 0.000977 -> Limit of sequence: 1.999023
1/2048 = 0.000488 -> Limit of sequence: 1.999512
1/4096 = 0.000244 -> Limit of sequence: 1.999756
1/8192 = 0.000122 -> Limit of sequence: 1.999878
1/16384 = 0.000061 -> Limit of sequence: 1.999939
1/32768 = 0.000031 -> Limit of sequence: 1.999969
1/65536 = 0.000015 -> Limit of sequence: 1.999985
1/131072 = 0.000008 -> Limit of sequence: 1.999992
1/262144 = 0.000004 -> Limit of sequence: 1.999996
1/524288 = 0.000002 -> Limit of sequence: 1.999998
1/1048576 = 0.000001 -> Limit of sequence: 1.999999
1/2097152 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/4194304 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/8388608 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/16777216 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/33554432 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/67108864 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/134217728 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/268435456 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/536870912 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/1073741824 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/-2147483648 = -0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/0 = inf -> Limit of sequence: inf

[Crop Circle]

Nein 1,33333333333 = 4/3
Dann hat er doch recht, das sie nicht größer wird als 2.

[TheGamer]

Dann hat er doch recht, das sie nicht größer wird als 2.

Ja stimmt auch wieder :D aber vlt meint er ja genau 2 :D sonst könnte er ja sagen nie grösser als 3/4.
Aber egal :)

[Mackg]

Nein 1,33333333333 = 4/3 -> du vervierfachst den divisor

1/1 = 1.000000 -> Limit of sequence: 1.000000
1/4 = 0.250000 -> Limit of sequence: 1.250000
1/16 = 0.062500 -> Limit of sequence: 1.312500
1/64 = 0.015625 -> Limit of sequence: 1.328125
1/256 = 0.003906 -> Limit of sequence: 1.332031
1/1024 = 0.000977 -> Limit of sequence: 1.333008
1/4096 = 0.000244 -> Limit of sequence: 1.333252
1/16384 = 0.000061 -> Limit of sequence: 1.333313
1/65536 = 0.000015 -> Limit of sequence: 1.333328
1/262144 = 0.000004 -> Limit of sequence: 1.333332
1/1048576 = 0.000001 -> Limit of sequence: 1.333333
1/4194304 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/16777216 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/67108864 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/268435456 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/1073741824 = 0.000000 -> Limit of sequence: 1.333333
1/0 = inf -> Limit of sequence: inf
1/0 = inf -> Limit of sequence: inf
1/0 = inf -> Limit of sequence: inf

bei 2 verdoppelst du ihn

1/1 = 1.000000 -> Limit of sequence: 1.000000
1/2 = 0.500000 -> Limit of sequence: 1.500000
1/4 = 0.250000 -> Limit of sequence: 1.750000
1/8 = 0.125000 -> Limit of sequence: 1.875000
1/16 = 0.062500 -> Limit of sequence: 1.937500
1/32 = 0.031250 -> Limit of sequence: 1.968750
1/64 = 0.015625 -> Limit of sequence: 1.984375
1/128 = 0.007812 -> Limit of sequence: 1.992188
1/256 = 0.003906 -> Limit of sequence: 1.996094
1/512 = 0.001953 -> Limit of sequence: 1.998047
1/1024 = 0.000977 -> Limit of sequence: 1.999023
1/2048 = 0.000488 -> Limit of sequence: 1.999512
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1/8192 = 0.000122 -> Limit of sequence: 1.999878
1/16384 = 0.000061 -> Limit of sequence: 1.999939
1/32768 = 0.000031 -> Limit of sequence: 1.999969
1/65536 = 0.000015 -> Limit of sequence: 1.999985
1/131072 = 0.000008 -> Limit of sequence: 1.999992
1/262144 = 0.000004 -> Limit of sequence: 1.999996
1/524288 = 0.000002 -> Limit of sequence: 1.999998
1/1048576 = 0.000001 -> Limit of sequence: 1.999999
1/2097152 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/4194304 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/8388608 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/16777216 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/33554432 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/67108864 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/134217728 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/268435456 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/536870912 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/1073741824 = 0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/-2147483648 = -0.000000 -> Limit of sequence: 2.000000
1/0 = inf -> Limit of sequence: inf



Das hättest du dir Sparen können der Grenzwert für die von Monger angegebene Reihe lässt sich ganz einfach berechnen:

1/(1-1/4)
(Die Reihe von monger lautet (1/4)^n von n=0 bis unendlich.

[TheGamer]

Das hättest du dir Sparen können der Grenzwert für die von Monger angegebene Reihe lässt sich ganz einfach berechnen:


Was ersparen? Das mal eben von ner Website kopieren die ich letztens mal entdeckt hatte?

[Mackg]

Was ersparen? Das mal eben von ner Website kopieren die ich letztens mal entdeckt hatte?

Ok, ich dachte du hast extra einen Code dafür geschrieben.

[Misda]

Vielen Dank für eure Hilfe!