Einfache, oder zumindest nicht trocken aufbereitete Mathematikbücher

[{655321}-Hades]

Hallo,

kürzlich las ich einen Fachartikel, der mathematisch formulierte, wie es zur Emergenz von Sinn in sozialen Systemen kommt. Erstens dachte ich: "Verflucht, das stimmt ja." Zweitens: "Verdammt, das will ich auch können." Dann las ich Robert Musil, und spätestens da wurde mir klar, dass ich auch was von Mathematik verstehen will.

Nun ist mir jegliche Freude an Mathematik durch die Schule und Statistik im Studium konsequent aberzogen worden. Teilweise hapert es an absoluten Grundlagen, ich habe mir daher eine Einführung in die Mathematik ausgeliehen, die tatsächlich beim Zahlenstrahl und den natürlichen Zahlen anfängt (und irgendwo bei Dingen aufhört, die ich nicht einmal aussprechen kann). Soweit, so gut. Ich bin auch fleißig am Lesen und Rechnen.

Ich erwarte nicht, noch in diesem Leben Mathematik auf Hochschulniveau zu begreifen. Aber ich würde gerne verstehen, wie Fraktale funktionieren, welche Meilensteine in der Mathematik erreicht wurden, wo wirklich interessante Anwendungen für bestimmte Gleichungen gefunden wurden, Grundlagen der Mengenlehre, mathematische Phänomene, die interessante Formen hervorbringen...

Daher suche ich Bücher, die für Nichtmathematiker das oben genannte in laaaaaangsamen Schritten behandeln. Die Suche gestaltet sich recht schwierig, daher dachte ich, dass ich hier vielleicht entsprechende Tipps und Empfehlungen bekommen könnte.

[dr_prot0n]

Ich glaub du suchst was populärwissenschaftliches für Mathematik oder sowas was in die Richtung geht? Das Problem bei mathematischer Literatur generell ist ja, dass Mathematiker immer alles "exakt" formulieren wollen, was den ganzen Kram immer so abstrakt und unverständlich werden lässt. Haste mal bei Amazon oder so geguckt? Vielleicht gibts da ja Bücher a la: "Mathematische Phänomene im Alltag einfach erklärt" o.ä.

[Quantar]

Das Problem bei mathematischer Literatur generell ist ja, dass Mathematiker immer alles "exakt" formulieren wollen
Das Problem ist eher, dass Mathematiker zu 99% Flaschen sind, wenn es darum, geht, die Beweise zu erklären, also ihre Heuristiken darzulegen. Denen haftet generell etwas leicht arrogantes an "So, das ist der Beweis, aber wie ich darauf gekommen bin, das sage ich nicht". Ich persönlich suche auch seit Ewigkeiten eben solche Literatur, in denen die Gedanken über das eigene folgern explizit dargelegt werden.
Als Grundlage für die Mengenlehre und mathematische Logik hat mir ein Freund dieses Buch (http://www.amazon.de/Joy-Sets-Fundamentals-Contemporary-Undergraduate/dp/0387940944/ref=sr_1_3?ie=UTF8&s=books-intl-de&qid=1258447600&sr=1-3) empfohlen (Und ich stehe da vor einem ähnlichen Problem wie du ;) ). Ansonsten kannst du mal gucken, ob du mit der Shaums Outlines Serie (http://www.amazon.de/s/ref=nb_ss?__mk_de_DE=%C5M%C5Z%D5%D1&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=schaum++outline&x=0&y=0) zurecht kommst. Die sind explizit fürs Selbsstudium und sollten auch in jeder Bib zu finden sein.

[dr_prot0n]

Das Problem ist eher, dass Mathematiker zu 99% Flaschen sind, wenn es darum, geht, die Beweise zu erklären, also ihre Heuristiken darzulegen. Denen haftet generell etwas leicht arrogantes an "So, das ist der Beweis, aber wie ich darauf gekommen bin, das sage ich nicht". Ich persönlich suche auch seit Ewigkeiten eben solche Literatur, in denen die Gedanken über das eigene folgern explizit dargelegt werden.
Als Grundlage für die Mengenlehre und mathematische Logik hat mir ein Freund dieses Buch (http://www.amazon.de/Joy-Sets-Fundamentals-Contemporary-Undergraduate/dp/0387940944/ref=sr_1_3?ie=UTF8&s=books-intl-de&qid=1258447600&sr=1-3) empfohlen (Und ich stehe da vor einem ähnlichen Problem wie du ;) ). Ansonsten kannst du mal gucken, ob du mit der Shaums Outlines Serie (http://www.amazon.de/s/ref=nb_ss?__mk_de_DE=%C5M%C5Z%D5%D1&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=schaum++outline&x=0&y=0) zurecht kommst. Die sind explizit fürs Selbsstudium und sollten auch in jeder Bib zu finden sein.
Die erste Empfehlung sieht hinsichtlich Mengenlehre echt ganz gut aus, fängt direkt von vorne an (hab da mal reingeguckt). Die Shaums-Dinger sind aber eher schon auf Hochschulniveau (also sowas hab ich jedenfalls auf der Uni gemacht) und helfen Hades glaub ich nicht weiter.

[Quantar]

Och es geht. Ich hatte in der Schule in Mathe auch immer nur 5en und komme größtenteils mit den Schaums-Dingern zurecht. Es zieht zwar zum Schluss gewaltig an, aber größtenteils sind die Inhalte nachvollziehbar (zumindest bei den beiden die ich habe).

[Migrator]

Hallo,

kürzlich las ich einen Fachartikel, der mathematisch formulierte, wie es zur Emergenz von Sinn in sozialen Systemen kommt. Erstens dachte ich: "Verflucht, das stimmt ja." Zweitens: "Verdammt, das will ich auch können." Dann las ich Robert Musil, und spätestens da wurde mir klar, dass ich auch was von Mathematik verstehen will.

Nun ist mir jegliche Freude an Mathematik durch die Schule und Statistik im Studium konsequent aberzogen worden. Teilweise hapert es an absoluten Grundlagen, ich habe mir daher eine Einführung in die Mathematik ausgeliehen, die tatsächlich beim Zahlenstrahl und den natürlichen Zahlen anfängt (und irgendwo bei Dingen aufhört, die ich nicht einmal aussprechen kann). Soweit, so gut. Ich bin auch fleißig am Lesen und Rechnen.

Ich erwarte nicht, noch in diesem Leben Mathematik auf Hochschulniveau zu begreifen. Aber ich würde gerne verstehen, wie Fraktale funktionieren, welche Meilensteine in der Mathematik erreicht wurden, wo wirklich interessante Anwendungen für bestimmte Gleichungen gefunden wurden, Grundlagen der Mengenlehre, mathematische Phänomene, die interessante Formen hervorbringen...

Daher suche ich Bücher, die für Nichtmathematiker das oben genannte in laaaaaangsamen Schritten behandeln. Die Suche gestaltet sich recht schwierig, daher dachte ich, dass ich hier vielleicht entsprechende Tipps und Empfehlungen bekommen könnte.

Erst dachte ich häh. Du hast doch Mathe studiert. Ich hatte dich mit pest verwechselt ;D Aber sage ja nichts zu laut mit rechnen, da geht pest nämlich immer ab ;)

Bietet unsere Uni-Bib denn nichts sinnvolles? Immerhin ist sie doch immer ganz oben mit dabei in den bundesweiten Qualitätsbewertungen :freak:

Ansonsten ein gut aufbereitetes Mathebuch ist für mich von Jürgen Tietze. Es ist halt für Wiwis geschrieben aber bietet zumindest grundlegende Kenntnisse die du sicher teilweise brauchst
http://www.amazon.de/Einf%C3%BChrung-die-angewandte-Wirtschaftsmathematik-Lehrbuch-bew%C3%A4hrt/dp/3834805149/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1258453852&sr=8-1

Allerdings habe ich ja mitbekommen wie trivial Mathe für Wiwis ist, wenn ich meinen beiden Arbeitskollegen bei Mathe für Physiker und Mathe (Mathematiker) anschaue. Aber ich glaube das ist zu komplex für den Anfang :D

[{655321}-Hades]

Vielen Dank erstmal für eure Tipps und Hinweise!

Auf Deutsch findet sich kaum etwas in die Richtung dessen, was ich suche, habe jetzt ein paar englische Bücher bestellt, wenn sich herausstellt, dass die etwas taugen, melde ich mich nochmal.

[{655321}-Hades]

Also, das Buch kann ich auf jeden Fall empfehlen: http://www.amazon.de/Journey-through-Genius-Theorems-Mathematics/dp/014014739X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books-intl-de&qid=1258792755&sr=8-1

Bisher habe ich keine Probleme gehabt, den Stoff nachzuvollziehen.

[Avalox]

Daher suche ich Bücher, die für Nichtmathematiker das oben genannte in laaaaaangsamen Schritten behandeln. Die Suche gestaltet sich recht schwierig, daher dachte ich, dass ich hier vielleicht entsprechende Tipps und Empfehlungen bekommen könnte.


Das Standardwerk ist "Mathematik ohne Formeln" von Popow und Puchnatscho.

Sehr gutes Buch. Es werden Integralrechnung, Relationen, Differentialrechnung, linearer und metrischer Raum behandelt.

Interessieren wird dich bestimmt das Haus der Mathematik

http://www.hausdermathematik.at/index.php

Aus dem Interview http://www.philognosie.net/index.php/article/articleview/697/

[Acid-Beatz]

Also ich kann selber die Papula Bände empfehlen: Die Bücher sind soweit "interessant" geschrieben, dass man sie durchaus lesen kann ohne zwischendurch einzuschlafen.
Manche "Kapitel" sind wohl von sich aus einfach sehr trocken weil sie für sich keine wirklich nachvollziehbaren Beispiele hergeben aber wenn man dann etwas weiter kommt, dann erschließt sich der Sinn durchaus.
Als Beispiel möge vllt des ganze Limes Zeugs dienen, dass man irgendwann ( auch in der Schule ) mal macht. Am Anfang denkt man sich: Alles schön und gut wenn ich irgendwelche Grenzwerte ausrechne aber wen interessierts??? Wo steckt der Sinn?
Der Sinn kommt vllt dann zum tragen wenn man zum Differentieren und Integrieren kommt und es vllt auch näher verstehen will!

Auf der anderen Seite würd ich auch garnicht erst versuchen "Alles" verstehen zu wollen, ich glaube das ist schlicht und einfach nicht möglich wenn man sich nicht "näher" mit Mathematik im Sinne eines solchigen Studiums oder etwas sehr ähnlichem beschäftigt.
Unser TM-Professor legt uns z.B auch des öfteren mal ans Herz, irgendwelche Beweise selber zu rechnen und wenn man dann fragt, wie lange so etwas dauert kommt dann: "Ja also ich selber brauch so 3-4 Stunden aber es ist wirklich schön, wenn man die Herleitung mal gesehen hat!!! "
Des ist dann einer der Punkte, wo ich mir denke wenn der liebe Herr Prof-Dr-Ing schon so lange braucht, dann schau ichs mir selber gar nicht erst an weil das wohl meine "Begabung" und Ehrgeiz bei weitem übertreffen dürfte ;)

[{655321}-Hades]

Das Standardwerk ist "Mathematik ohne Formeln" von Popow und Puchnatscho.

Sehr gutes Buch. Es werden Integralrechnung, Relationen, Differentialrechnung, linearer und metrischer Raum behandelt.

Schönes Buch. Durchgearbeitet. Vielen Dank!

An die anderen auch. Wenn es noch mehr Empfehlungen gibt: Immer her damit.

[Frucht-Tiger]

Für dich wohl zu einfach und simpel, aber passt hier gut rein: Mathe Macchiato (http://www.amazon.de/Mathe-macchiato-Cartoon-Mathematik-Kurs-Sch%C3%BCler-Studenten/dp/3827370612/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1260299526&sr=8-1). Habe ich nach langer Mathe-Abstinenz vor meinem Studium gelesen und finds einfach klasse gemacht :)

[Migrator]

Schönes Buch. Durchgearbeitet. Vielen Dank!

An die anderen auch. Wenn es noch mehr Empfehlungen gibt: Immer her damit.

Naja, was du machen kannst ist natürlich Vorlesungen dir anhören. Und jetzt verdreh nicht den Kopf ;). Ich meine die hier:

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/web/courses/av/index.htm#Mathematics

Die sind echt gut und du kannst in deinem eigenen Tempo vorgehen. Kombiniert mit einem Mathebuch kannst du gemütlich dich mit den Themen auseinandersetzen. Ich mache gerade "Single Variable Calculus" durch. (Ich hab mit Linear Algebra angefangen). Schau sie dir dann bei Youtube an (doppelklick), dann kannst du sie in Vollbild anschauen.

[pest]

ich bin ja der meinung das man mathematik jedem beibringen kann, man muss es nur richtig erklären

also nur zu :) - wenn du dgl verstanden hast kannst du dann langsam aufhören ;)

leider habe ich keine einfachen bücher im angebot - ich hätte lieber jmd. der mir bei ein paar büchern hilft


Ich erwarte nicht, noch in diesem Leben Mathematik auf Hochschulniveau zu begreifen. Aber ich würde gerne verstehen, wie Fraktale funktionieren, welche Meilensteine in der Mathematik erreicht wurden, wo wirklich interessante Anwendungen für bestimmte Gleichungen gefunden wurden, Grundlagen der Mengenlehre, mathematische Phänomene, die interessante Formen hervorbringen...


die Frage ist, in welcher Tiefe du das verstehen willst.

Will heißen eine Mandelbrotmenge kann ich dir prinzipiell in 2min erklären, aber um zu verstehen wie man eine Dimensionsanalyse vollzieht bedarf es schon etwas mehr.

Viele mathemathische Sätze und Erkenntnisse werden einen Nicht-Mathematiker auch nicht wirklich begeistern aka O-Ton Prof. "Das nächste haut' sie vom Hocker"
- und dann kommt der Residuensatz :D

Der Residuensatz besagt, dass das Kurvenintegral längs einer geschlossenen Kurve über eine bis auf isolierte Singularitäten holomorphe Funktion lediglich vom Residuum in den Singularitäten im Innern der Kurve und der Windungszahl der Kurve um diese Singularitäten abhängt.


Allerdings denke ich, um das jetzt hier mal abzuschließen, das das Verständniss von Differentialgleichungen dir wirkliche Erkentnisse bringen wird,
weil diese eigentlich die Grundlage in sehr vielen Modellierungsaspekten darstellen (Thermodynamik, Astrophysik usw.)

Wenn also der nächste Wetterbericht ansteht, und du ne ungefähre Vorstellung davon hast, wie die das machen, fände ich das super

[maximAL]

Ich persönlich suche auch seit Ewigkeiten eben solche Literatur, in denen die Gedanken über das eigene folgern explizit dargelegt werden.
Vielleicht das (http://www.amazon.de/Schule-Denkens-L%C3%B6sen-mathematischer-Probleme/dp/3772006086/ref=sr_1_2?ie=UTF8&s=books&qid=1260390546&sr=8-2)?

[Freakazoid]

Also ich kann selber die Papula Bände empfehlen: Die Bücher sind soweit "interessant" geschrieben, dass man sie durchaus lesen kann ohne zwischendurch einzuschlafen.
Manche "Kapitel" sind wohl von sich aus einfach sehr trocken weil sie für sich keine wirklich nachvollziehbaren Beispiele hergeben aber wenn man dann etwas weiter kommt, dann erschließt sich der Sinn durchaus.
Als Beispiel möge vllt des ganze Limes Zeugs dienen, dass man irgendwann ( auch in der Schule ) mal macht. Am Anfang denkt man sich: Alles schön und gut wenn ich irgendwelche Grenzwerte ausrechne aber wen interessierts??? Wo steckt der Sinn?
Der Sinn kommt vllt dann zum tragen wenn man zum Differentieren und Integrieren kommt und es vllt auch näher verstehen will!

Auf der anderen Seite würd ich auch garnicht erst versuchen "Alles" verstehen zu wollen, ich glaube das ist schlicht und einfach nicht möglich wenn man sich nicht "näher" mit Mathematik im Sinne eines solchigen Studiums oder etwas sehr ähnlichem beschäftigt.
Unser TM-Professor legt uns z.B auch des öfteren mal ans Herz, irgendwelche Beweise selber zu rechnen und wenn man dann fragt, wie lange so etwas dauert kommt dann: "Ja also ich selber brauch so 3-4 Stunden aber es ist wirklich schön, wenn man die Herleitung mal gesehen hat!!! "
Des ist dann einer der Punkte, wo ich mir denke wenn der liebe Herr Prof-Dr-Ing schon so lange braucht, dann schau ichs mir selber gar nicht erst an weil das wohl meine "Begabung" und Ehrgeiz bei weitem übertreffen
dürfte ;)

Ich muss nichtmal den Eingangspost lesen um eine Empfehlung ebenfalls dem Papula auszusprechen. Habe viele einschläge Bücher gelesen und der Papula hats ein didaktisch drauf.

[tombman]

Denen haftet generell etwas leicht arrogantes an
"So, das ist der Beweis, aber wie ich darauf gekommen bin, das sage ich nicht".
Sehr treffend formuliert :up:
Vorallem ist die Grundidee eh nie schwer, aber sie wird immer in 99% "Absicherung" verpackt, damit sie vor GOTT wasserdicht ist :rolleyes:
Das 1% darf man dann suchen gehen, und die freuen sich dann, wenn man es nie oder möglichst schwer findet...

[Das Auge]

Für dich wohl zu einfach und simpel, aber passt hier gut rein: Mathe Macchiato (http://www.amazon.de/Mathe-macchiato-Cartoon-Mathematik-Kurs-Sch%C3%BCler-Studenten/dp/3827370612/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1260299526&sr=8-1). Habe ich nach langer Mathe-Abstinenz vor meinem Studium gelesen und finds einfach klasse gemacht :)

Hehe, das hab ich hier auch rumstehen, war mir aber zu peinlich das zu posten nachdem ich die anderen Vorschläge gesehen hab ;D

[zustand]

Sehr treffend formuliert :up:
Vorallem ist die Grundidee eh nie schwer, aber sie wird immer in 99% "Absicherung" verpackt, damit sie vor GOTT wasserdicht ist :rolleyes:
Das 1% darf man dann suchen gehen, und die freuen sich dann, wenn man es nie oder möglichst schwer findet...

Es hat meiner Meinung eher damit zu tun, das das "darauf kommen" nicht wirklich erklärbar ist. Der Lösungsprozess hat auch meist nichts mit scharfen aufeinander folgenden Gedanken zu tun. Ich habe eher den Eindruck das man am Problem herumstochert und rumprobiert bis man einen Ansatzpunkt findet der einen zur Lösung führt. Danach wird das ganze auf sichere Beine gestellt und erscheint dann in der enstprechenden Form. Mit Arroganz hat das eher weniger zu tun. Ich hoffe mal ich bin nicht komplett an deinem Gedanken vorbeigeschrammt.

Vielleicht noch eine Anmerkung zur mathematischen Literatur. Man darf hier nicht erwarten das ganze auf Anhieb zu verstehen. Eher muss man erwarten gar nichts zu verstehen. Für den Neuling ist es dann besonders kritisch weil er eine komplett neue Denkstruktur erlernen muss und das ist extrem frustrierend. Also den Hinterkopf arbeiten lassen und das ganze Zeug immer setzen lassen.

[pest]

Vorallem ist die Grundidee eh nie schwer

so ganz unrecht hast du ja nicht
der "mathematische job" besteht eben darin die idee zu formalisieren

die ausbreitung eines gases in einem raum, ist eine einfache idee
aber du kannst in 10jahren keinen 1zeiler daraus machen :wink:

auf der anderen seite gibt es trotzdem schwer zu verstehende abstrakte teilgebiete der mathematik
die oft dazu da sind, größere zusammenhänge zu sehen

da besteht die idee z.b. darin, zu erkennen das man aus einer folge mit häufungspunkten eine konvergente teilfolge auswählen kann um einen beweis zuende zu bringen.
das kann man auch nicht mehr vereinfachen. das sind definitionen und sätze die man drauf haben muss.

[Quantar]

Es hat meiner Meinung eher damit zu tun, das das "darauf kommen" nicht wirklich erklärbar ist. Der Lösungsprozess hat auch meist nichts mit scharfen aufeinander folgenden Gedanken zu tun. Ich habe eher den Eindruck das man am Problem herumstochert und rumprobiert bis man einen Ansatzpunkt findet der einen zur Lösung führt.
Jein, manchmal mag es try&error sein, aber oftmals sind es auch durchaus systematische Verfahren/Heuristiken:

Analogie: Habe ich etwas Ähnliches schon einmal gesehen? Kenne ich
ein verwandtes Problem?
Generalisierung: Bringt mich der Übergang von einem Objekt zu einer
ganzen Klasse von Objekten weiter?
Spezialisierung: Komme ich weiter, wenn ich zunächst einmal einen
leicht zugänglichen Spezialfall löse?
Variation: Kann ich durch die Veränderung der Problemstellung der
Lösung näher kommen? Kann man das Problem anders ausdrücken?
Rückwärtssuche: Hilft es, wenn ich beim gewünschten Resultat
anfange? Welche Operationen können mich zu diesem Ergebnis führe führen? n?
Teile und herrsche: Lässt sich das Problem in leichter lösbare
Teilprobleme zerlegen?
Vollständige Enumeration : : Kann ich mir Lösungen verschaffen, die
wenigstens einen Teil der Zielbedingungen erfüllen? Kann ich mir
sämtliche Lösungen verschaffen, die diese Bedingungen erfüllen?

Wie und ob das Ganze dann allerdings bei höheren/komplexeren Problemen funktioniert, weiß ich allerdings nicht. Zumindest bei "simplen" geht da oft was.

Mit Arroganz hat das eher weniger zu tun.
naja, ausnahmslos alle die ich kenne, welche ein mathematisches Studium absolviert haben, sagen dass die Profs so gut wie nie Beweise wirklich erklärt haben. Ob das nun didaktisch sinnvoll ist oder nicht, darüber lässt sich streiten.
So wie ich in den empirischen Wissenschaften oftmals präzise Gedankengänge vermisse (zuviel Geschwafel), vermisse ich in den Fromalwissenschaften manchmal das Geschwafel.

[zustand]

Deine Auflistung ist im Prinzip genau das von mir beschriebene. Das Spielen mit der Problemstellung liefert einen in den meisten Fällen die Lösung. Nur dieser Denkvorgang ist später weder beschreibbar noch erklärbar. So ist zumindest mein Eindruck den ich durch die von mir gelösten Aufgaben (nichts großartiges) bekomme.

Das mit den Beweisen ist natürlich so eine Sache. Im Prinzip steht immer und überall alles nötige da, so dass keinerlei Erklärung mehr notwendig ist. Nur erkennt man dies am Anfang überhaupt nicht. Erst wenn man sich mit den Dingen länger beschäftigt erkennt man die eigentlichen Gedankenschritte. Deswegen sind vorgeführte Beweise meiner Meinung nach nicht wirklich für das Verständnis da, sondern fürs nachlesen gedacht. Und für das wirkliche Verständnis einer Theorie in der Physik oder eines mathematischen Gebietes muss man sich das ganze selber der eigenen Denkstruktur zurechtlegen. Genau deswegen muss man für das Studium von ein paar Seiten in entsprechenden Büchern nicht mit mehreren Stunden sondern mehreren Tagen rechnen. Das wollen aber die wenigsten einsehen. Am Anfang steht immer die komplette Ahnungslosigkeit.

Hoffe du kannst damit etwas anfangen.

[Schiller]

Hehe, das hab ich hier auch rumstehen, war mir aber zu peinlich das zu posten nachdem ich die anderen Vorschläge gesehen hab ;DWelche Themengebiete umfasst es?

[Schiller]

Welche Themengebiete umfasst es?:confused:

[Controller Khan]

:confused:

http://www.pearson.ch/HigherEducation/MathematicsStatistics/PrecalculusPrecollegeMaths/1471/9783827370617/Mathe-macchiato.aspx

http://www.pearson.ch/HigherEducation/MathematicsStatistics/PrecalculusPrecollegeMaths/1471/9783827371409/Mathe-macchiato-Analysis.aspx

hat jeweils ein Inhaltsverzeichnis und eine Leseprobe.

Der Stoff geht bis 10/11 Klasse, ich finde ihn prima für Nachhilfe geben in Mathematik.

mit Hochschulmathematik hat eher wenig zu tun, liefert aber ein gutes Fundament.

Papula fand ich nicht so gut , mehr zum viel rechen und Prüfung bestehen.
Die normalen Uni Bücher versagen da komplett, Aufgaben ohne Lösungen (sehr sinnvoll)

[Schiller]

Danke.