Financial Statistic

[eXodia]

Hallo,

ich komme bei einer Frage partout nicht weiter. Vllt. könnt ihr mir ja helfen:

Suppose that E(X)=1, E(Y)=1, Var(X)=2, Var(Y)=3, and Cov(X,Y)=1

- what are E(0.1X + 0.9Y) and Var(0.1X + 0.9Y)? -> Müsste man hier nicht einfach die gegebenen expected values/variances einsetzten und lösen?

- for what value of w is Var(wX + (1-w)Y) minimised? Suppose that X is the return on one asset and Y is the return on a second asset. Why would it be useful to minimise Var(wX + (1-w)Y)? -> hier habe ich echt k.a.

Regards

[hmx]

Hallo,

ich komme bei einer Frage partout nicht weiter. Vllt. könnt ihr mir ja helfen:

Suppose that E(X)=1, E(Y)=1, Var(X)=2, Var(Y)=3, and Cov(X,Y)=1

- what are E(0.1X + 0.9Y) and Var(0.1X + 0.9Y)? -> Müsste man hier nicht einfach die gegebenen expected values/variances einsetzten und lösen?

- for what value of w is Var(wX + (1-w)Y) minimised? Suppose that X is the return on one asset and Y is the return on a second asset. Why would it be useful to minimise Var(wX + (1-w)Y)? -> hier habe ich echt k.a.

Regards


Hallo!

Also bei den erwartungswerten geht dies, aber nicht bei den Varianzen. Ich muss mal in meinen Unterlagen schauen, ob ich da noch die Formel für die Berechnung der Gesamtvarianz eines Portfolios finde, habe aber gerade wenig Zeit, da ich grade von der Uni gekommen bin und die Heizung ausgefallen ist. :(

Mit der Formel für die Varianz kannst du dann selbige minimieren, indem du die Funtion nach w (die Anteile) ableitest und dann gleich null setzt. Allerdings fehlt mir in der Aufgabe der Vorgegeben Gewinn. Wenn man die Varianz minimiert dann eigentlich immer für eine bestimmte Rendite. So weit ich der Meinung bin liegt das aber daran dass der Gewinn für beide Assets gleich ist.
Ohne die Formel für die Gesamtvarianz kannst du aber zumindest den letzten Aufagbenteil lösen. Man minimiert die Varianz des Gesamtportfolios da man so das Risiko (=Varianz) beigegebenem Gewinn minimiert. In deinem Fall ist der gegebene Gewinn 1.
Ich hoffe dir wenigstens ein bischen weitergeholfen zu haben...

[Pinoccio]

nicht bei den VarianzenRichtig (http://de.wikipedia.org/wiki/Varianz#Varianz_von_Summen_von_Zufallsvariablen).
D. h. Var(0.1X + 0.9Y)= 0,1*Var(X) + 0,9*Var(Y) + 2 * 0,1 * 0,9 *Cov(X,Y) = 4,28
Damit [Var(wX + (1-w)Y)]'= [w*2 + (1-w)*3 + 2 *w * (1-w) *1]' = 1-4w, also 0 für w=0,25, was Var(wX + (1-w)Y)=3,125 ergibt.
Siehe Beitrag #5.

Den Rest sagte ja hmx bereits (auch wenn ich es nicht ganz verstehe).

mfg

[hmx]

Richtig (http://de.wikipedia.org/wiki/Varianz#Varianz_von_Summen_von_Zufallsvariablen).
D. h. Var(0.1X + 0.9Y)= 0,1*Var(X) + 0,9*Var(Y) + 2 * 0,1 * 0,9 *Cov(X,Y) = 4,28
Damit [Var(wX + (1-w)Y)]'= [w*2 + (1-w)*3 + 2 *w * (1-w) *1]' = 1-4w, also 0 für w=0,25, was Var(wX + (1-w)Y)=3,125 ergibt.

Den Rest sagte ja hmx bereits (auch wenn ich es nicht ganz verstehe).

mfg

Hmmm, wobei, irgendwas gefällt mir da bei der Aufgabe nicht. Wenn ich w=1 habe, dann habe ich doch nur Var(X)=2 mit E(X)=1.


edit: Natürlich habe ich dann eine Varianz von 2, nicht 1.

[eXodia]

OK, danke euch. Das hat echt geholfen.

Richtig (http://de.wikipedia.org/wiki/Varianz#Varianz_von_Summen_von_Zufallsvariablen).
D. h. Var(0.1X + 0.9Y)= 0,1*Var(X) + 0,9*Var(Y) + 2 * 0,1 * 0,9 *Cov(X,Y) = 4,28

Müsste das nach der Formal dann nicht das sein:

Var(0.1X + 0.9Y)= 0,1²*Var(X) + 0,9²*Var(Y) + 2 * 0,1 * 0,9 *Cov(X,Y) = 2,63

Regards

[Pinoccio]

Müsste das nach der Formal dann nicht das sein:

Var(0.1X + 0.9Y)= 0,1²*Var(X) + 0,9²*Var(Y) + 2 * 0,1 * 0,9 *Cov(X,Y) = 2,63Äh, ja, die ^2 hatte ich übersehen.

Richtig: Var(0.1X + 0.9Y)= 0,1^2*Var(X) + 0,9^2*Var(Y) + 2 * 0,1 * 0,9 *Cov(X,Y) = 2,63
Damit [Var(wX + (1-w)Y)]'= [w^2*2 + (1-w)^2*3 + 2 *w * (1-w) *1]' = 6w-4, also 0 für w=0,667, was Var(wX + (1-w)Y)=1,333 ergibt.

mfg

[hmx]

OK, danke euch. Das hat echt geholfen.



Müsste das nach der Formal dann nicht das sein:

Var(0.1X + 0.9Y)= 0,1²*Var(X) + 0,9²*Var(Y) + 2 * 0,1 * 0,9 *Cov(X,Y) = 2,63

Regards

Stimmt, was aus den Varianzen gezogen wird muss quadriert werden.

Arg. Stimmt doch was weiter oben steht, war abgelenkt, dafür geht Heizung wieder. :D
Hat mich irritiert dass die Varianz erst 3,125 war, was natürlich nicht sein konnte. Die Varianz ist natürlich mit 1,333 minmiert.
Fals es dich interessiert: Das geht in dem Fall nur so einfach, da hier E für beide Assets gleich ist. Wenn das nicht so ist, wird in der Aufgabe dann ein bestimmtes E (=Gewinn, Rendite) angegeben für welches Var minimiert werden muss. Dann muss die Optimierung unter einer Nebenbedingung gemacht werden.

[pest]

Hey, es ist noch eine Frage unbeantwortet

[hmx]

Hey, es ist noch eine Frage unbeantwortet

Welche denn?

[pest]

Why would it be useful to minimise Var(wX + (1-w)Y)

...

[hmx]

...

Achso, hab ich ja oben eigendlich schon geschrieben.
Also, bei der Optimierung wird davon ausgegangen dass jegliche Abweichung schädlich ist. Der Gewinn ist ja E+-Var, nach unten hin macht das auch intuituitiv Sinn, da das Renditeziel nicht erreicht wurde. In dem Markowitz Modell wird aber angenommen, dass auch eine Abweichung nach oben unerwünscht ist, da hier nur ein bestimmtes Renditeziel erreicht werden soll, für das überflüssige Kapital gibt es hier keinen Nutzen. Daher werden (quadratische) Abweichungen bestraft.
Das leitet sich daraus ab, dass man von risikoaversen Anlegern ausgeht, die zB eher gewillt sind den Gewinn stabil zu halten.

Man minmiert also in diesem Modell das Risiko, welches durch durch Standardabweichung (S^2 = Varianz) angegeben wird.

[pest]

mir ging es eher um die Gleichung, warum minimiert man nicht Var(aX+bY)?

die Lösungen für die Aufgaben, sind ja simple Zahlenschubserei

In dem Markowitz Modell wird aber angenommen, dass auch eine Abweichung nach oben unerwünscht ist, da hier nur ein bestimmtes Renditeziel erreicht werden soll, für das überflüssige Kapital gibt es hier keinen Nutzen.


wo hast du das denn jetzt hergezaubert?

[hmx]

mir ging es eher um die Gleichung, warum minimiert man nicht Var(aX+bY)?

die Lösungen für die Aufgaben, sind ja simple Zahlenschubserei



wo hast du das denn jetzt hergezaubert?

1. Das ist eigendlich allgemein bekannt. Im Markowitz Modell sind beide Arten von Abweichungen unerwünscht.

2. ? Man tut doch genau dies. Man minimiert die Varianz des Portfolios, bestehend aus wX und (1-w)Y.

[pest]

1. Das ist eigendlich allgemein bekannt. Im Markowitz Modell


nein, wie du aus der Aufgabenstellung auf das Modell kommst?


Man minimiert die Varianz des Portfolios, bestehend aus wX und (1-w)Y.

warum nicht aX und bY, oder schreibt das das Modell vor?

[hmx]

nein, wie du aus der Aufgabenstellung auf das Modell kommst?



warum nicht aX und bY, oder schreibt das das Modell vor?

1. Ich gehe einfach mal davon aus, weil ich solcherlei Aufgaben kenne. Zudem ist in der Frage dies ja offen gelassen. Man sollte nur einen Grund angeben weswegen es nützlich sein könnte das Risiko zu minimieren. Antwort: Weil im Markowitz-Modell davon ausgegangen wird, dass die Marktteilnehmer risikoavers sind. Das ist die Erklärung.

2. Warum solte man es so machen. Aus w ergibt sich 1-w. So ist es einfacher, zudem steht es so in der Aufgabe, da es sich um die Anteile der Assets X und Y am Gesamtportfolio handelt, die müssen beide zusammen 1 ergeben. In deinem Fall häte man die Nebenbedingung dass a+b=1 sein muss.

[pest]

Man sollte nur einen Grund angeben weswegen es nützlich sein könnte das Risiko zu minimieren.


ich denke das reicht als Antwort


Aus w ergibt sich 1-w. So ist es einfacher


naja :wink:


zudem steht es so in der Aufgabe, da es sich um die Anteile der Assets X und Y am Gesamtportfolio handelt


ist ein Asset automatisch ein Teil eines Gesamtportfolios...gut wusste ich nicht

[eXodia]

Ich hätte mal noch eine Frage zu dem Unterschied zwischen PDF (probability density function) und CDF (cumulative distribution function). Wenn in der Frage steht, dass X uniform (0,1) und Y=3x-2 ist, wäre dann die PDF 3x²-2x und die CDF x³-x² oder umgedreht? in welches von den beiden Integralen muss ich denn dann meine limits setzten?

Regards

[pest]

verstehst du denn den inhaltlichen Unterschied?

[Pinoccio]

Ich hätte mal noch eine Frage zu dem Unterschied zwischen PDF (probability density function) und CDF (cumulative distribution function). Wenn in der Frage steht, dass X uniform (0,1) und Y=3x-2 ist, wäre dann die PDF 3x²-2x und die CDF x³-x² oder umgedreht? in welches von den beiden Integralen muss ich denn dann meine limits setzten?

RegardsIch würde pest zustimmen, eine etwas gründlichere Einarbeitung in die Begriffe der Statistik wären wünschenswert.
Und vermutlich muß es X uniform (0,1) und Y=3X-2 heißen.

mfg

[eXodia]

verstehst du denn den inhaltlichen Unterschied?

Also ich fasse das wie folgt auf: PDF = Funktion die die Wahrscheinlichkeit beschreibt mit der eine random variable zwischen zwei boundaries a und b liegt (in diesem Fall 0 und 1). CDF = ist quasi die "aufaddierte" version von der PDF da sie kummulativ ist.

Ich würde pest zustimmen, eine etwas gründlichere Einarbeitung in die Begriffe der Statistik wären wünschenswert.
Und vermutlich muß es X uniform (0,1) und Y=3X-2 heißen.

Richtig.

Regards

[pest]

Also ich fasse das wie folgt auf: PDF = Funktion die die Wahrscheinlichkeit beschreibt mit der eine random variable zwischen zwei boundaries a und b liegt (in diesem Fall 0 und 1)


eine PDF ist immer im Intervall (-inf,+inf) definiert.
Bei einer Gleichverteilung verschwindet sie nur ausserhalb des durch ein Intervall definierten Bereiches. Das die PDF die Wahrscheinlichkeit beschreibt ist etwas irreführend, denn sie beschreibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeit (ist aber nicht die Verteilungsfunktion=CDF). Deswegen steht an der Ordinate einer Dichtefunktion auch keine Einheit ;)


CDF = ist quasi die "aufaddierte" version von der PDF da sie kummulativ ist.


P(X<=x) =CDF(x)=Integral[PDF(x),-inf,x]

d.h. die Wahrscheinlichkeit das die Zufallsvariable X einen Wert <= x annimmt
ist gleich der Fläche unter der PDF, links von x.

[eXodia]

eine PDF ist immer im Intervall (-inf,+inf) definiert.

Aber was ist denn dann in dem Bsp. die PDF? Müsste es nicht das Integral von 3X-2 sein? Im Buch steht P{X e A} = IntegralA fX(x)dx - aber helfen tut das nicht wirklich.

[pest]

ganz einfach

Y=3X-2 bedeutet das wenn X den Wert x annimmt, Y den Wert 3x-2 annimmt.

Daraus folgen die Identitäten

(Y<=y)=(3X-2<=y)=(3X<=y+2)=(X<=(y+2)/3)

die Verteilungsfunktion G von Y ergibt sich dann als

G( y)=P(Y<=y)=P(X<=(y+2)/3)=F( (y+2) / 3)

wobei F die Verteilungsfunktion=CDF von X ist.

die Dichte erhält man dann wiederum durch Ableiten der Verteilungsfunktion

[hmx]

...

[eXodia]

Falls jemand von euch mit "R" arbeitet wäre jede Hilfe willkommen. Ich habe jetzt folgenden Code geschrieben aber R gibt mir einfach nicht den richtigen Output. Weiß einer wo da der Fehler liegt?

"R"

x<-rexp(15,rate=1)
x
x_bar<-mean(x)
x_bar

y<-x-x_bar
y

sigma_sqrd<-function(n){
sumquad<-sum(y)^2/n
sumquad
}

sigma_sqrd(3)

"R" Output

> x<-rexp(15,rate=1)
> x
[1] 0.03270068 0.65038599 0.23117141 1.63441159 0.50740398 1.46755750
[7] 1.91082764 0.21126493 0.83433173 0.11895013 1.06038425 0.30340619
[13] 1.90608554 0.37385762 0.65680823
> x_bar<-mean(x)
> x_bar
[1] 0.7933032
>
> y<-x-x_bar
> y
[1] -0.76060248 -0.14291717 -0.56213175 0.84110843 -0.28589918 0.67425434
[7] 1.11752448 -0.58203823 0.04102857 -0.67435303 0.26708109 -0.48989697
[13] 1.11278238 -0.41944554 -0.13649493
>
> sigma_sqrd<-function(n){
+ sumquad<-sum(y)^2/n
+ sumquad
+ }
>
> sigma_sqrd(3)

[Pinoccio]

Falls jemand von euch mit "R" arbeitet wäre jede Hilfe willkommen. Ich habe jetzt folgenden Code geschrieben aber R gibt mir einfach nicht den richtigen Output. Weiß einer wo da der Fehler liegt?Mein Beileid! Ich finde dir R-Syntax dermaßen grauenhaft, ich weigere mich, mir da (fremde) Probleme anzugucken, sorry. :freak:

/edit: ...
Es muß sigma_sqrd(15) heißen. Der Rest setzt soweit ich das sehe die Aufgabenstellung um, nur S^2 fehlt irgendwie noch.
/edit 2: Es muss außerdem sumquad<-sum(y^2)/n heißen.

mfg

[eXodia]

Mein Beileid! Ich finde dir R-Syntax dermaßen grauenhaft, ich weigere mich, mir da (fremde) Probleme anzugucken, sorry. :freak:

mfg

Ich glaube da liegen meine Hoffnungen jetzt bei "pest" :). Es ist echt schlimm, da sitzt man Jahrtausende an sowas, es geht nicht und den Fehler findet man auch nicht.

Regards

[Pinoccio]

Ich glaube da liegen meine Hoffnungen jetzt bei "pest" :). Es ist echt schlimm, da sitzt man Jahrtausende an sowas, es geht nicht und den Fehler findet man auch nicht.

RegardsSiehe mein edit, ich konnte doch nicht wiederstehen. Spannender als die Musterlösung für eine Matheklausur auszuarbeiten ist es nämlich ... ;(

Schön [Enter] gedrückt nach der letzten Zeile hast du auch, ja!?

mfg

[eXodia]

/edit: ...
Es muß sigma_sqrd(15) heißen. Der Rest setzt soweit ich das sehe die Aufgabenstellung um, nur S^2 fehlt irgendwie noch.

Das was in () hiner dem sigma_sqrd steht repräsentiert n. Dort kann man dann halt ein beliebiges n einsetzten.

/edit 2: Es muss außerdem sumquad<-sum(y^2)/n heißen.

Das scheint allerdings geholfen zu haben! Jetzt sie es wie folgt aus (für n=3):

> x<-rexp(15,rate=1)
> x
[1] 1.4259522 2.2797926 1.0131118 1.1440182 2.2474246 0.1654933 0.2844020
[8] 0.5566530 0.9341892 0.3294360 1.3227113 1.6089081 0.2892164 0.8590128
[15] 2.7833406
> x_bar<-mean(x)
> x_bar
[1] 1.149577
>
> y<-x-x_bar
> y
[1] 0.276374745 1.130215088 -0.136465710 -0.005559243 1.097847095
[6] -0.984084156 -0.865175461 -0.592924457 -0.215388231 -0.820141520
[11] 0.173133836 0.459330630 -0.860361110 -0.290564668 1.633763161
>
> sigma_sqrd<-function(n){
+ sumquad<-sum(y^2)/n
+ sumquad
+ }
>
> sigma_sqrd(3)
[1] 3.033339
>


Hoffentlich passt das jetzt!

Regards

[eXodia]

Also ich weiß nicht ob ich das jetzt bin, aber für folgenden Code:

x<-rexp(5,rate=1)
x
x_bar<-mean(x)
x_bar

y<-x-x_bar
y

sum(y^2)

sigma_sqrd<-function(n){
sumquad<-sum(y^2)/n
sumquad
}

sigma_sqrd(3)


Gibt R mir das aus:

> x<-rexp(5,rate=1)
> x
[1] 0.1547147 1.9235377 1.9172902 0.7287116 0.6748014
> x_bar<-mean(x)
> x_bar
[1] 1.079811
>
> y<-x-x_bar
> y
[1] -0.9250964 0.8437265 0.8374791 -0.3510995 -0.4050097
>
> sum(y^2)
[1] 2.556353
>
> sigma_sqrd<-function(n){
+ sumquad<-sum(y^2)/n
+ sumquad
+ }
>
> sigma_sqrd(3)
[1] 0.8521176
>

Aber wenn ich sum(y^2) und sigma_sqrd(3) manuell nachrechne komme ich partout nicht auf das gleiche Ergebnis.

Regards

[Pinoccio]

Das was in () hiner dem sigma_sqrd steht repräsentiert n. Dort kann man dann halt ein beliebiges n einsetzten.Jein. Aus R-Sicht natürlich ja, aber im Sinne des Varianzschätzers muss da eine 15 stehen, da du ja alle 15 Sampels aufsummierst (bzw. der quadrierten Abstand zu x_bar) und dann eben wieder durch deren Anzahl, also 15, teilst.
sigma_sqrd(3) entspräche dem fünffachen deines gesuchten Schätzers. Allein daß dort 3 statt 1 rauskommt, sollte dich stutzig werden lassen. Der Schätzer streut ziemlich.


number_of_samples<-15
x<-rexp(number_of_samples,rate=1)
x
x_bar<-mean(x)
x_bar

y<-x-x_bar
y

sigma_sqrd<-function(n){
sumquad<-sum(y^2)/n
sumquad
}

sigma_sqrd(number_of_samples)


Kleiner Tip: geh evtl. besser schlafen ... um die Uhrzeit! :smile:

/edit:

> y
[1] -0.9250964 0.8437265 0.8374791 -0.3510995 -0.4050097
>
> sum(y^2)
[1] 2.556353
Aber wenn ich sum(y^2) [...] manuell nachrechne komme ich partout nicht auf das gleiche Ergebnis.Stimmt aber.
Nur: warum versteifst du dich auf sigma_sqrd(3)?

mfg

[eXodia]

Jein. Aus R-Sicht natürlich ja, aber im Sinne des Varianzschätzers muss da eine 15 stehen, da du ja alle 15 Sampels aufsummierst (bzw. der quadrierten Abstand zu x_bar) und dann eben wieder durch deren Anzahl, also 15, teilst.

Stimmt, da hast du recht - macht Sinn.


number_of_samples<-15
x<-rexp(number_of_samples,rate=1)
x
x_bar<-mean(x)
x_bar

y<-x-x_bar
y

sigma_sqrd<-function(n){
sumquad<-sum(y^2)/n
sumquad
}

sigma_sqrd(number_of_samples)


Wenn ich das nehme schaut das bei R so aus (mit 5 Samples):

> number_of_samples<-5
> x<-rexp(number_of_samples,rate=1)
> x
[1] 0.2747174 1.1118762 1.5027091 0.3321100 1.8711480
> x_bar<-mean(x)
> x_bar
[1] 1.018512
>
> y<-x-x_bar
> y
[1] -0.7437947 0.0933641 0.4841970 -0.6864021 0.8526358
>
> sigma_sqrd<-function(number_of_samples){
+ sumquad<-sum(y^2)/number_of_samples
+ sumquad
+ }
>
> sigma_sqrd(number_of_samples)
[1] 0.398906
>


Auch wenn ich das nachrechne komme ich nicht auf das Ergebnis.

Kleiner Tip: geh evtl. besser schlafen ... um die Uhrzeit! :smile:

Wäre vllt. sinnvoll :wink:

/edit:
Stimmt aber.
Nur: warum versteifst du dich auf sigma_sqrd(3)?

No particular reason. Ich wollte einfach ein kleines n zum von Hand nachrechnen.

Regards

[pest]

ich habe keine Ahnung von R :D - und weigere mich auch

das Witzige ist, das man beim Varianzschätzer eigentlich mit 1/(n-1) multiplizieren muss, da der Schätzer sonst nicht konsistent und erwartungstreu ist.

edit: hm, Mathematica hat das Selbe wir R raus, also vielleicht hast du dich verrechnet

http://www.abload.de/img/mathematicara8sq.png

[Pinoccio]

Auch wenn ich das nachrechne komme ich nicht auf das Ergebnis.Passt aber.No particular reason. Ich wollte einfach ein kleines n zum von Hand nachrechnenOkay, aber es muss natürlich schon was mit der Anzahl der Smaples zu tun haben, also bei 15 Samples 15, bei 5 ebend 5. (Oder du hörst auf Pest und immer eins weniger. Ist aber Definitionsfrage.)das Witzige ist, das man beim Varianzschätzer eigentlich mit 1/(n-1) multiplizieren muss, da der Schätzer sonst nicht konsistent und erwartungstreu ist.Konsistent ist er doch? :confused:
Vielleicht ist das (also 1/n vs 1/(n-1)) aber der Grund, warum in der Aufgabenstellung sigma^2 und S^2 auftauchen, könnte mir vorstellen, daß das der Unterschied ist.
Aber nur aus dem Namen einer Variable auf ihre Bedeutung und Funktion zu schließen, das kann immer schief gehen, selbst Pi und e werden ja für mehrere Sachen verwandt.

mfg

[pest]

Konsistent ist er doch? :confused:

ist mir beim Weg zur Uni dann auch eingefallen, eben nur nicht erwartungstreu wenn man den Mittelwert auch schätzt


Vielleicht ist das (also 1/n vs 1/(n-1)) aber der Grund, warum in der Aufgabenstellung sigma^2 und S^2 auftauchen, könnte mir vorstellen, daß das der Unterschied ist.


ja die R-Funktion wird die Stichprobenvarianz korrekt ermitteln

[eXodia]

Ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Die Aufgaben zum CAPM und den Betas habe ich hinbekommen jedoch habe ich keine Ahnung wie man folgendes zeigt: Show that equation (7.15) follows from equation (2.54).

Regards

[eXodia]

OK, falls es noch von interesse ist - soweit bin ich gekommen. Wie man jetzt aus der Kovarianzmatrix das Sigma herleitet ist zwar immernoch ein Rätsel aber besser als nichts ...

Regards