Wer sich beweisen will...

[Unregistered]

...löst diese (oder eine von beiden) Aufgaben zum Theme "vektorielle Beweise":

1. Beweise: Ein Parallelogramm ist genau dann eine Raute, wenn die Diagonalen orthogonal sind.

2. Beweise, daß die beiden Winkelhalbierenden von zwei sich schneidenden Geraden orthogonal sind.

==> Bitte ausführlichen Lösungsweg (Behauptung, Voraussetzung, Beweis) anbringen, wenn mgl. mit Skizze der Vektoren.

Viel Spaß beim Knobeln ;-)

[Stone2001]

:D, Schon wieder einer, der Probleme mit seinen Hausaufgaben hat!
Wenn du Glück hast, erbarmt sich Frank deiner und du bekommst einen 1A Beweis. Ich hab grad nicht genug Zeit um den Beweis selber zu führen!

[Stone2001]

Nun, ich will mal nicht so sein:

1. Beweise: Ein Parallelogramm ist genau dann eine Raute, wenn die Diagonalen orthogonal sind.

Gegeben sind zwei Vektoren a und b beliebig im R². Das sind die zwei Vektoren die unser Parallelogramm bilden!
Dann sind die Diagonalen (a+b) und (b-a)!
Das Skalarproduckt von (a+b) und (b-a) muß 0 sein, wenn die beiden senkrecht aufeinander stehen!

==> < (a+b),(b-a) > = 0
==> (a1+b1)*(b1-a1) + (a2+b2)(b2-a2) = 0
==> b1² - a1² + b2² - a2² = 0
==> b1² + b2² = a1² + a2²
==> ||b||² = ||a||²
==> ||b|| = ||a||

==> Beh.

[Legolas]

Du musst aber noch fordern, daß die Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, linear unabhängig sind.

[Dr.Doom]

Originally posted by Legolas
Du musst aber noch fordern, daß die Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, linear unabhängig sind.
Hat er ja umgangsprachlich gemacht:
"Das sind die zwei Vektoren die unser Parallelogramm bilden!" .

[Stone2001]

Originally posted by Legolas
Du musst aber noch fordern, daß die Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, linear unabhängig sind.
Sicher? Ich hab mir das auch grad überlegt, ob ich fordern soll, das die Vektoren linear unabhängig und > 0 sind!

Aber, wo steht, das wir die trivialen Fälle ausschliesen sollen? Wenn ich mich recht errinnere steht der Nullvektor senkrecht auf jedem Vektor (auch auf sich selbst) und wenn ich das zugrunde lege, brauche ich solche Forderungen nicht!

[Liquaron]

Oh Gott Leute jetzt übertreibt mal net !!! :D
Ich bekomme Morgen meine Matheklausur wieder. Und ich sage euch wenn diese mal besser ist als eine 5 schmeiße ich für das ganze 3d Center Forum eine Runde :bier:
Naja aber das wird wohl leider nicht passieren :-(

[Frank]

Ich geh mal davon aus, dass wir uns im max 3-dim. Euklidischen Punktraum aufhalten.
1.
Jetzt kommts eher drauf an, welche Definition du für Raute (Rhombus) im Tafelwerk stehen hast. Zudem hast du eine "genau dann, wenn"-Aussage, musst als beide Richtungen selbiger beweisen. Also hier:
a. Das PG ist ein Rh. => die Diagonalen sind orthog.
b. Die Diago. des PG sind orthogonal => das PG ist ein Rh.
Eigentlich gibts nix groß zu zeigen, da bei mir im Tafelwerk ein Rhombus nach b definiert ist (und nur in der Ebene). (dazu gehört noch, dass die Diagonalen eines PGs sich in der Länge halbieren, aber das könnte man vorraussetzen) Andersrum könnte man den Rhombus in zwei gleichschenkliche Dreiecke teilen und von beiden, aus dem Schenkelpunkt, die Winkelhalbierenden ziehen. Die sind gleichzeitig ja Mittelsenkrechte, wobmit der rechte Winkel der Diagonalen auch gezeigt wäre. (Skizze = Frank faul - aber selber wohl machbar)
(Du kannst wiegesagt auch "geometrisch" beweisen, wobei du hier nicht alles mit irgendwelchen "Formeln" untermaueren musst. Allerdings ist eine Skizze immer ein Spezialfall und deckt nie alle Sonderregeln ab. Das ist hier zwar nicht wichtig aber ein Tip für die Zukunft.)

2.
Da zwei Geraden, die sich schneiden immer eine Ebene bilden, reicht es, dieses Problem im E^2 zu betrachten. Lösung siehe Bild: Beide "halben" Winkel aufaddierert ergeben genau 90°. Die Aussage ist zudem auch so allgemein, das sie auch auf die Ausnahme, dass sich zwei parallele Geraden schneiden, zutrifft. Aber das ist glaub ich hier egal.
http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~fh468638/temp/x2.jpg

... hoffe das genügt. ?

[Frank]

Originally posted by Legolas
Du musst aber noch fordern, daß die Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, linear unabhängig sind. kommt drauf an wie du Parallelogramm definerst.

[Legolas]

Originally posted by Frank
kommt drauf an wie du Parallelogramm definerst.

Naja, zwei kolineare Vektoren im R² spannen doch kein Parallelogramm auf, sondern liegen auf einer Geraden. Und damit ist dann eigentlich der Beweis hinfällig, da es ja dann gar keine Diagonalen gibt.

[Frank]

genau :)

und wenn du es so definierst (zb Diagonalenlänge>0 oder Flächeninhalt>0 etc) brauchst du das nicht mehr erwähnen, da es eh nach Definition vorrausgesetzt ist mit den unabhängigen Vektoren. (Sonderfälle gibts wie immer auch hier - aber nicht im "normalen" E^2 oder R^2))

[Rangy]

So, jetzt hab ich mal ne fachmännische Frage:
Was ist orthogonal???? Vielleicht senkrecht zueinander?

[Stone2001]

Bingo!