Stochastik - bedingte Wahrscheinlichkeit

[Sewing]

Wenn ich mit einem homogenen Würfel (W6) einmal werfe und zwei Ereignisse betrachte:


Ereignis A: Augenzahl ist gerade/ungerade

Ereignis B: Augenzahl ist größer/kleiner gleich 3


handelt es sich dabei um bedingte oder unabhängige Ereignisse?


Ich möchte die Wahrscheinluchkeit für das Auftreten von A und B ermitteln aber kann mir irgendwie nie merken, wann es unabhängige und wann bedingte Wahrscheinlichkeiten sind...

Ich habe versucht, das an einem Ereignisbaum darzustellen, war mir aber bei der Bezeichnung der 2. Stufe an den Zweigen nicht sicher. Nimmt man dort die Wahrscheinlichkeit 1/2, weil ja bei einem Würfel 3 Elementarereignisse zum Ereignis: B: Augenzahl ist größer/kleiner gleich 3 gehören, oder nimmt man dort die Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit davon, ob der Würfel eine gerade oder ungerade Augenzahl zeigt. Aber das ist ja zu diesme Zeitpunkt noch gar nicht bekannt oder?

http://666kb.com/i/bukv8avmoi30nley3.gif



Irgendwas stimmt da doch nicht, kann mir jemand helfen?

[tam tam]

Ich weiß nicht, ob es üblich ist, eine unabhängige Wahrscheinlichkeit anhand zweier Ergebnisse/Ereignisse in Abhängigkeit eines einzigen Elements(der geworfene Würfel) herzuleiten oder zu beweisen? Ich hab eigentlich keine Ahnung von solchen Sachen aber wenn, würd ich dafür wohl eher Karten heranziehen, um viell. Deine Frage zu beantworten?

[johla]

Du musst für die Unabhängigkeit nur prüfen, ob P(A und B) = P(A)*P(B) ist.

[Sewing]

offensichtlich nicht, denn


Ereignis Ereignis A: Augenzahl ist gerade/ungerade hat die Wahrscheinlichkeit 1/2

Ereignis B: Augenzahl ist größer/kleiner gleich 3 hat ebenfalls die Wahrscheinlichkeit 1/2

Das wäre also 1/4 für beispielsweise "gerade Augenzahl und größer als 3", was aber nicht stimmen kann, da dieses Ereignis durch die Augenzahl 4 und 6 repräsentiert wird, also eine Wahrscheinlichkeit von 2/6 = 1/3 hat


also scheint es sich hierbei um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu handeln. In diesem Zusammenhang verstehe ich dann aber nicht, wieso das hier eine bedingte Warscheinlichkeit darstellt

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Bedingte_Wahrscheinlichkeit

und das hier unabhänige Wahrscheinlichkeiten

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Abh.C3.A4ngigkeit_und_Unabh.C3.A4ngigkeit_von_Ereigni ssen



kann mir das jemand erklären?

[Mosher]

A: würfel <= 3
B: würfel gerade


P(A UND B) = 1/2 (1,2,3 <= 3) * 1/3 (von 1, 2 und 3 ist nur die 2 gerade) = 1/6
P(A) * P(B) = 1/2 * 1/2 = 1/4 != P(A UND B)

hilft das weiter?

[Mosher]

offensichtlich nicht, denn


Ereignis Ereignis A: Augenzahl ist gerade/ungerade hat die Wahrscheinlichkeit 1/2

Ereignis B: Augenzahl ist größer/kleiner gleich 3 hat ebenfalls die Wahrscheinlichkeit 1/2

Das wäre also 1/4 für beispielsweise "gerade Augenzahl und größer als 3", was aber nicht stimmen kann, da dieses Ereignis durch die Augenzahl 4 und 6 repräsentiert wird, also eine Wahrscheinlichkeit von 2/6 = 1/3 hat


also scheint es sich hierbei um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu handeln. In diesem Zusammenhang verstehe ich dann aber nicht, wieso das hier eine bedingte Warscheinlichkeit darstellt

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Bedingte_Wahrscheinlichkeit

und das hier unabhänige Wahrscheinlichkeiten

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Abh.C3.A4ngigkeit_und_Unabh.C3.A4ngigkeit_von_Ereigni ssen



kann mir das jemand erklären?





Nochmal edit:

Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse sind verschiedene Begriffe.
Zunächst einmal kannst du von 2 Ereignissen A und B immer bedingte Wahrscheinlichkeiten (A|B) bzw. (B|A) aufstellen.

Sind A und B voneinander stochastisch unabhängig, dann gilt: P(A) = P(A|B), sprich: B beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit von A.

Bei deinen Würfeln ist das aber genau der Fall:

W <= 3 schränkt die Wahrscheinlichkeit von W = gerade ein.

Ohne die Forderung W <= 3 wäre die Wahrscheinlichkeit von W = gerade 1/2, so ist sie nur 1/3. --> stochastisch abhängig

Bei den Karten ist es anders:

A: Karte rot
B:Karte Karo

p(a) = 1/2, p(b) = 1/2

p(a|b) ist aber ebenfalls 1/2 (leuchtet ein, oder?)
analog p(b|a) = p(b) --> stochastisch unabhängig

[hmx]

offensichtlich nicht, denn


Ereignis Ereignis A: Augenzahl ist gerade/ungerade hat die Wahrscheinlichkeit 1/2

Ereignis B: Augenzahl ist größer/kleiner gleich 3 hat ebenfalls die Wahrscheinlichkeit 1/2

Das wäre also 1/4 für beispielsweise "gerade Augenzahl und größer als 3", was aber nicht stimmen kann, da dieses Ereignis durch die Augenzahl 4 und 6 repräsentiert wird, also eine Wahrscheinlichkeit von 2/6 = 1/3 hat


also scheint es sich hierbei um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu handeln. In diesem Zusammenhang verstehe ich dann aber nicht, wieso das hier eine bedingte Warscheinlichkeit darstellt

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Bedingte_Wahrscheinlichkeit

und das hier unabhänige Wahrscheinlichkeiten

http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Abh.C3.A4ngigkeit_und_Unabh.C3.A4ngigkeit_von_Ereigni ssen



kann mir das jemand erklären?

A ist ja aus dem Grund nicht unabhängig von B. Je nachdem ob die Augenzahl kleiner oder größer 3 ist, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für B (also einen geraden oder ungeraden Wurf.


edit: Mosher war schneller...

[Sewing]

soweit klar, aber ich verstehe immer noch nicht, wo bei diesen beiden Kartenbeispielen der Unterschied liegt...


und noch eine Frage, diese sogenannten n-stufigen Experimente müssen also nicht zwangsläufig eine räumliche bzw. zeitliche Abfolge darstellen oder?

- Ein würfel wird zweimal hintereinander geworfen
- zwei Urnen mit jeweils einer schwarzen und einer weisen Kugel


sondern können auch auf ein "Ereignis" (einmal Würfeln) angewendet werden oder? Wie in dem Fall oben, indem man zwei unterrschiedliche Ereignisse aneinander hängt...

ist das korrekt?

[pest]

diese sogenannten n-stufigen Experimente müssen also nicht zwangsläufig eine räumliche bzw. zeitliche Abfolge darstellen oder?


nein das ist nur ein Modell, genauso wie das Urnenmodell

vielleicht hilft dir das Laplace-Expriment (Pfadregeln) (http://www.mathe-online.at/materialien/Daniela.Eder/files/Diskrete_WK/Zusammenstellung.html)