Unendlich und größer

[Herr Doktor Klöbner]

Da ich mich ja jetzt damit abgefunden habe, das es unendlich große Mengen gibt, die größer oder kleiner sind als andere unendlich große Mengen, mal eine Frage.

Wie groß sind Mengen der Punkte auf einem Kreis, der Punkte der Fläche innerhalb eines Kreises, der Punkte innerhalb einer Kugel ? Die sind doch, so würde ich aus dem Bauch heraus sagen, gleichgroß ?

Ich hoffe ich habe mich als Nichtmathematiker hinreichend klar deutlich ausgedrückt.

[Chemiker]

Die Zahl der Punkte in einem Kreis müsste größer sein als die Zahl der Punkte auf einem Kreis, da die Kreisfläche aus unendlich vielen Kreisen mit jeweils infinitisimal kleinerem Durchmesser besteht.
Aber das ist auch nur die Vermutung eines dummen Chemikers, der sich die höheren Sphären der Mathematik auch (noch?) nicht wirklich erschlossen haben...

[IVI]

Ist gleich groß, wenn zwischen den Füßen bis zur Unendlichkeit ist die Distanz unendlich - genau wie vom Schopf bis zur Unendlichkeit. Ist alles eine Definitionssache, weshalb Mathematik ja keine Naturwissenschaft, sondern eine Idealwissenschaft ist und sprengt (daher der Name *gg*) idealer Weise ja auch jede Logik.

[pest]

Da ich mich ja jetzt damit abgefunden habe, das es unendlich große Mengen gibt, die größer oder kleiner sind als andere unendlich große Mengen, mal eine Frage.


aber verstanden? Größer, Kleiner ist irreführend imo, besser passt der Begriff der Mächtigkeit (http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_%28Mathematik%29)

Die Grundlegende Eigenschaft zweier Mengen die gleichmächtig sind, ist das eine Bijektion zwischen ihnen angegeben werden kann (eineindeutige Abbildung)

z.B. A={Apfel, Birne, Banane}, B={Stuhl, Tisch, Kopf}

diese Mengen sind gleichmächtig, da ich eine Bijektion zwischen A und B angeben kann, nämlich z.B. Apfel->Stuhl, Birne->Tisch, Banane->Kopf

für endliche Mengen ist das trivial

Das heißt aber z.B. auch das die geraden Zahlen gleichmächtig wie alle natürlichen Zahlen sind, oder auch, das die natürlichen Zahlen gleichmächtig wie die positiven Brüche sind.

Cantors erstes Diagonalargument (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument)


das die Reellen Zahlen mächtiger sind als die Natürlichen ist Teil von
Cantors zweitem Diagonalargument (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument)

[Juice]

Von Seiten der Mengenlehre betrachtet handelt es sich bei einem Kreis um die Teilmenge einer Kreisfläche und bei der Kreisfläche um eine Teilmenge einer Kugel, wenn nun die Punkte auf deinem Kreis eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, ist diese Menge nicht abzählbar und unendlich, genau wie das Intervall zwischen 0 und 1, dennoch ist die Menge aller reellen Zahlen größer als die Teilmenge der Zahlen zwischen 0 und 1, genauso bei Kreis, Kreisfläche und Kugel.

[hmx]

aber verstanden? Größer, Kleiner ist irreführend imo, besser passt der Begriff der Mächtigkeit (http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_%28Mathematik%29)

Die Grundlegende Eigenschaft zweier Mengen die gleichmächtig sind, ist das eine Bijektion zwischen ihnen angegeben werden kann (eineindeutige Abbildung)

z.B. A={Apfel, Birne, Banane}, B={Stuhl, Tisch, Kopf}

diese Mengen sind gleichmächtig, da ich eine Bijektion zwischen A und B angeben kann, nämlich z.B. Apfel->Stuhl, Birne->Tisch, Banane->Kopf

für endliche Mengen ist das trivial

Das heißt aber z.B. auch das die geraden Zahlen gleichmächtig wie alle natürlichen Zahlen sind, oder auch, das die natürlichen Zahlen gleichmächtig wie die positiven Brüche sind.

Cantors erstes Diagonalargument (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument)


das die Reellen Zahlen mächtiger sind als die Natürlichen ist Teil von
Cantors zweitem Diagonalargument (http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument)

In dem Sinne müssten dann ja die beiden Mengen (gesamter Kreis und kreis ohne Rand) unterschiedlich groß sein, oder?
Ich finde doch immer noch ein Epsilon, welches sozusagen übrige bleibt, bei der Zuordnung.

[pest]

aus dem Bauch heraus, ja

[pest]

jetzt haben sich doch noch ein paar Synapsen zur Mitarbeit überreden können
und zumindest hier kann man auch anders vorgehen

die Menge der Punkte einer Kreisscheibe um 0 mit Radius r in der euklidischen Ebene
ist A={(x,y) mit x²+y²<r²}, die Randmenge ist gleich R={(x,y) mit x²+y²=r²}

Mächtigkeiten sind additiv, es gilt also |A vereinigt B|=|A| + |B| - |A geschnitten B|

Halten wir nun fest
- A ist nicht leer, da z.B. (0,0) drin liegt
- R ist nicht leer (rechnen mag ich jetzt nicht)
- der Durchschnitt von A und R ist leer

damit ergibt sich für den Kreis=Kreischeibe+Rand |A vereinigt R|=|A|+|R|, also |A|<|A vereinigt R|

[Monger]

Mal noch ein anderer Gedankenansatz:

Die Grundannahme ist bereits falsch. Nicht alle begrenzten Mengen sind zählbar. Ein Kreis besteht zwar aus Punkten, das heißt aber nicht dass X Punkte einen Kreis machen. Auf einer Welle lassen sich schließlich auch nicht die Wassertropfen zählen - wohl aber das Volumen errechnen.

Was in einer binomischen Formel nach etwas unendlichem aussieht, ist manchmal nach einem Integral einfach nur ein lokales Maximum. Wo eine Wurzel aus -1 bei rationalen Zahlen einfach nicht beantwortbar ist, ist bei komplexen Zahlen plötzlich sehr harmonisch.

Wir nehmen halt oft genug naiverweise an, dass sich alles auf einen eindimensionalen Zahlenstrang runterbrechen lassen müsste. Die Realität ist oft genug komplexer.

[Hellstaff]

So wie ich es von meinem Mateprof in der Schule gelernt habe, hat eine Gerade genau so viele Punkte, wie eine Fläche. Nämlich unendlich.

Er erzählte uns von einer Geschichte, in der ein Mathematiker vor ein paar Jahrhunderten schwer bestraft wurde, weil er dies behauptete.

LG

Hellstaff

[Juice]

So wie ich es von meinem Mateprof in der Schule gelernt habe, hat eine Gerade genau so viele Punkte, wie eine Fläche. Nämlich unendlich.

Er erzählte uns von einer Geschichte, in der ein Mathematiker vor ein paar Jahrhunderten schwer bestraft wurde, weil er dies behauptete.

LG

Hellstaff

Das entspricht auch genau dem Diagonalisierungsverfahren von Cantor, ein Zahlenstrahl, hier die natürlichen Zahlen, wird so aufgeteilt, dass er eine Fläche ergibt. Generell sind unendliche abzählbare Mengen immer gleichgroß bzw. gleichmächtig. Überabzählbare Mengen können unterschiedlich Mächtig sein, da bereits Teilmengen unendlich viele Elemente haben können.

[zustand]

Ich kann mich ja täuschen, aber die Kreisscheibe sollte doch die gleiche Mächtigkeit wie der Kreisring besitzen. Welches Maß man den beiden Mengen zuordnet ist eine andere Frage.

[Speznaz]

Als Laie behaupte ich einfach, dass, aufgrund der Planck-Länge, die maximale Anzahl von Punkten einer Fläche größer ist als die der Punkte auf einem Kreis, selbst bei (jeweils gleich) unendlichen Außmaßen.
:ugly:

[kiX]

Als Laie behaupte ich einfach, dass, aufgrund der Planck-Länge, die maximale Anzahl von Punkten einer Fläche größer ist als die der Punkte auf einem Kreis, selbst bei (jeweils gleich) unendlichen Außmaßen.
:ugly:
Nur dass sich Mathematiker nicht für Plancklängen interessieren, es sei denn sie machen Physik. ;)

[Langenscheiss]

Das entspricht auch genau dem Diagonalisierungsverfahren von Cantor, ein Zahlenstrahl, hier die natürlichen Zahlen, wird so aufgeteilt, dass er eine Fläche ergibt. Generell sind unendliche abzählbare Mengen immer gleichgroß bzw. gleichmächtig. Überabzählbare Mengen können unterschiedlich Mächtig sein, da bereits Teilmengen unendlich viele Elemente haben können.

Genau das ist der Punkt. Man sollte zunächst klären, was Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit bedeutet, bevor man sich mit der Frage der Größe beschäftigt. Da Physiker wie ich bekannterweise regelmäßig die Mathematik vergewaltigen, muss ich sagen, dass ich stolz darauf bin, dass mir diese Unterscheidung bzw. das Verständnis selbiger völlig ausreicht.

Nur zur Info, falls sich einige Leser noch wundern:
Abzählbar bedeutet, dass eine bijektive Abbildung auf die natürlichen Zahlen besteht, oder laienhaft, man kann alle Elemente der Menge eindeutig mit den natürlichen Zahlen indizieren. Versucht das mal mit den reellen Zahlen, und ihr wisst, was das bedeutet.

[Herr Doktor Klöbner]

Also noch einmal die Frage : Ist die Menge der Punkte auf der Kreislinie gleich mächtig wie die Punkte auf der Kreisfläche ? Das beide überabzählbar sind, erschliesst sich sogar mir.

Aber mal ganz naiv gefragt:Wenn ich innerhalb des Kreises einen weiteren Kreis lege, mit infinitisimal kleinerem Durchmesser, sind doch beide Mengen gleichmächtig, so das die Menge der Punkte auf der Kreisfläche dann wohl doch größer sein muß, oder war das jetzt zu blauäugig ?

[Pinoccio]

Also noch einmal die Frage : Ist die Menge der Punkte auf der Kreislinie gleich mächtig wie die Punkte auf der Kreisfläche ? Das beide überabzählbar sind, erschliesst sich sogar mir.Wenn du von einer rellen oder wenigstens rationalen Ebene redest, dann sind Kreisrand und Kreisfläche im Sinne der Mengenlehre gleichmächtig. (Sofern der Radius nicht Null ist.)
Aber mal ganz naiv gefragt: Wenn ich innerhalb des Kreises einen weiteren Kreis lege, mit infinitisimal kleinerem Durchmesser, sind doch beide Mengen gleichmächtig, so das die Menge der Punkte auf der Kreisfläche dann wohl doch größer sein muß, oder war das jetzt zu blauäugig ?Drücke dich präziser aus. Ich verstehe nicht, was genau du meinst.
Ich kann mich ja täuschen, aber die Kreisscheibe sollte doch die gleiche Mächtigkeit wie der Kreisring besitzen. Welches Maß man den beiden Mengen zuordnet ist eine andere Frage.Zumindest gibt es für die Maße gewisse Grenzen (http://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9Ftheorie#Ma.C3.9F).
Das dürfte allerdings über den Horizont des Fragestellers hinausgehen.

mfg

[pest]

aber das Maß ist doch additiv?

ich sehe da jetzt keinen Fehler in meinem Beweis. weiß aber das das Ergebniss unsinnig ist.

edit: ach Mist, das gilt nat. nur für abzählbare Mengen, und da ist auch schon der Fehler.