ziegenproblem

[Q-Volt]

http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/ziegen/node2.html


was meint ihr? ich bin jetzt total verwirrt.
einerseits leuchtet mir ein, dass - wenn der erste treffer einerfolg sein soll - die chance dazu 1/3 steht. die chance, eine niete zu erwischen somit logischerweise 2/3.
andererseits habe ich doch danach eben genau 2 auswahlmöglichkeiten, also eine chance von 1/2.

in der praxis - laut dem javasapplet auf der seite - verhält es sich tatsächlich ungefähr wie 3/1 für den wechsel.

[Aragon]

.

[MadManniMan]

Für mich eher eine Problematik der Statistik - es gibt zu offensichtliche Hirnrissigkeiten im Gesamtsystem, aber ich halte mich lieber aus der Diskussion heraus und beobachte, was so viele Jahre nach Threaderstellung hieraus wird ;)

[Amarok]

Nennt sich, wie auch erwähnt, "bedingte Wahrscheinlichkeit".

nehmt nicht 3 Türen sondern tausend, mit 999 Ziegen und 1 Auto, wählt eine Türe (z.B. 2) und der Moderator öffnet Türe 1, 3, 4, 5, 6, ....456, 458, 459, 460, ....1000

Na? Würdet ihr wechseln und diee Türe Nr. 457 nehmen?...:)

[Badewannenkäptän]

äusserst interessant! kannte ich noch nicht, danke.

Zuerst war ich auch verwirrt, wie du, dann habe ich aber den Artikel bei Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem) durchgelesen, und ich habe verstanden, dass es wirklich besser ist, wenn man wechselt.

Der Moderator kann nur ein Tor öffnen, hinter dem sich der Gewinn nicht befindet. Ein Kandidat, der sich immer gegen den Wechsel entscheidet, gewinnt nur, wenn er auf Anhieb das richtige Tor trifft. Dies geschieht in einem Drittel der Fälle. Ein Kandidat, der immer wechselt, verliert in allen Fällen, in denen er ohne Wechsel gewinnt, also einem Drittel der Fälle, und gewinnt folglich in zwei Dritteln der Fälle.
oder
Kann man durch eigene Wahl nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 erreichen, verbleiben nach Aufzeigen der Niete die anderen 2/3 beim dritten Tor, welches man wählen sollte.
und eben wie Amorak meint
Wird das Spiel gedanklich auf n Türen erweitert, wobei der Moderator nach der ersten Wahl des Kandidaten n-2 Türen mit Nieten öffnet, wird die optimale Strategie des Umentscheidens für große n unmittelbar deutlich, z.B. am Beispiel einer Losbude mit einem Hauptgewinn und n-1 Nieten, also z.B. n = 1000 Losen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit seiner ersten Wahl richtig liegt, beträgt 1:1000. Nachdem der Losbudenbesitzer 998 Nieten aus dem Loseimer entfernt hat, empfiehlt es sich für den Spieler, sich umzuentscheiden.

[Monger]

Ich hab mir jetzt alles durchgelesen, aber verstanden habe ich es immer noch nicht.


Kann man es vielleicht argumentativ rumdrehen?
Dadurch, dass der Moderator ja eine Niete auswählen muss, aber nicht das selbst ausgewählte Tor wählen darf, ist das ausgewählte Tor mit erhöhter Wahrscheinlichkeit eine Niete ?!? :confused:

[HAL]

Ist doch logisch!

Der Kandidat wählt ein Tor: er hat zu 1/3 das richtige Tor gewählt, ergo zu 2/3 das falsche!

Nun wird ein Tor geöffnet, und zwar eines von dem der Moderator weiss, dass es eine Niete ist.

Das Tor des Kandidaten ist aber immer noch zu 2/3 das falsche (und nur zu 1/3 das richtige), daran hat sich ja nichts geändert!

-> Das noch ungeöffnete Tor muss also zu 2/3 das richtige sein!

[HAL]

[URL]
einerseits leuchtet mir ein, dass - wenn der erste treffer einerfolg sein soll - die chance dazu 1/3 steht. die chance, eine niete zu erwischen somit logischerweise 2/3.
andererseits habe ich doch danach eben genau 2 auswahlmöglichkeiten, also eine chance von 1/2.

Nein, Du vergisst den Moderator!
Der Moderator verändert nämlich die Wahrscheinlichkeiten, denn er nimmt ein Tor aus dem Spiel von dem er weiss, dass es eine Niete ist.

Würde der Moderator irgendein Tor öffnen, hättest Du recht. Aber das könnte dann ja auch der Preis sein, also muss er eine Niete öffnen damit das Spiel einen Sinn ergibt.

[gri_gra_gru]

Ganz einfach:

Du hast eine Chance von 1/3 auf Anhieb das richtige Tor zu erwischen und eine Chance von 2/3, dass sich das Auto in einem anderen Tor befindet. Du stehst vor der Entscheidung: Entweder du wählst dein Tor mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 oder du entscheidest dich dafür, dass das Auto in den zwei anderen Toren ist. Welches Tor von den beiden, weißt du ja bereits.

Als Alternative kann man ja auch folgende Tabelle nutzen:
Die Tür, die der Kandidat gewählt hat, heißt Tür 1. Das Auto kann in der Tür 1, 2 oder 3 sein.

Wenn das Auto in der 1. Tür ist, dann kann der Moderator eine der beiden anderen Türen öffnen (welche ist egal, da die Türen beliebig nummerierbar sind). Wenn der Kandidat wechselt, hat er kein Auto, wenn er nicht wechselt, dann hat er ein Auto.

Wenn das Auto in der 2. Tür ist, dann kann der Moderator nur mehr die 3. Tür aufmachen. Wenn der Kandidat wechselt, dann muss er die Tür 2 aufmachen und erhält ein Auto. Wenn er nicht wechselt, dann erhält er kein Auto.

Wenn das Auto in der 3. Tür ist, dann passiert das selbe. Wenn der Kandidat wechselt, bekommt er ein Auto, wenn nicht, dann bekommt er keines.

Tür gewählt Tür mit Auto Tür von Moderator geöffnet Erfolg bei Wechsel Erfolg bei nicht Wechsel
1 1 2 oder 3 0 1
1 2 3 1 0
1 3 2 1 0

Kritik an den Gegenargumenten:

1.) Hier brauche ich denke ich keinen Kommentar abgeben :D

2.) Man darf das Problem nicht mit zwei Kandidaten auf einmal betrachten. Kandidat A weiß von B nichts und umgekehrt. Außerdem behandelt das nur den Teilfall, wo das Auto entweder in Tür A oder B ist.

3.) Die Aliens haben nicht den selben Wissensstand, wie der Kandidat. Sie wissen nicht, warum der Moderator genau diese Tür geöffnet hat. Wahrscheinlichkeit kann man nur vergleichen, wenn man den selben Wissensstand hat: Beispiel eines Tests. Der Schüler X weiß er hat ca. 1/3 sicher richtig beantwortet, 1/3 nicht und 1/3 weiß er nicht. Somit schätzt er die Chance, dass er positiv (mehr als die Hälfte richtig) ist auf 50%. Der Mitschüler A schätzt die Wahrscheinlichkeit auf eine positive Note auf 90%, da der Schüler X bisher auf 90% der Tests in seinem Leben positiv war. Der Mitschüler B weiß, dass der Schüler X gestern nur gesoffen hat und noch immer total dicht ist. Da der Schüler X bisher auf 95% der Tests negativ war, wenn er am Vortag gesoffen hat, schätzt der Mitschüler B die Wahrscheinlichkeit auf 5%, dass der Test positiv war. Der Mitschüler C hat gesehen, dass von 30 Leuten 9 negativ waren und schätzt die Wahrscheinlichkeit daher auf 70%, dass der Test positiv war. Der Lehrer, weiß, dass das unsichere 1/3 zum Großteil falsch war und weiß, dass die Wahrscheinlichkeit auf eine positive Note 0% beträgt. Alle Leute sind richtig vorgegangen, kommen aber zu den unterschiedlichsten Ergebnissen.

4.) Hier wird der Zustand Auto in Tür 1 und Moderator öffnet Tür 2 oder Tür 3 als 2 verschiedene Möglichkeiten gesehen. Das ist aber falsch, da es nur 3 Möglichkeiten gibt für die Plätze der Autos. Welche Tür der Moderator aufmacht, ist egal.

[WedgeAntilles]

Der Denkfehler der oft gemacht wird ist folgender:

Alle 3 Tore sind gleich.
Man wählt eins.

Bis dahin richtig.
Jetzt nimmt der Moderator eine Tür, eine NIETE - er WEIß was eine Niete ist.

Und jetzt sind die Tore nämlich nicht mehr identisch und austauschbar, die zwei übriggebliebenen Tore unterscheiden sich plötzlich. Es ist nicht mehr egal welche Tür man in der Hand hat.

Bei 3 Toren ist es nicht so anschaulich, aber wie schon genannt bei 1000 leuchtet es ein.

1000 Türen, man nimmt eine.
Der Moderator öffnet 998 der anderen Türen, bleibt eine Tür übrig und die Tür die man eben selber hatte.
Dass hier die Wkeit dass man zufällig genau die eine Tür die die richtige ist erwischt hat ist sehr klein.
Bei vielen Türen wird es einleuchtend dass es auf jeden Fall besser ist zu wechseln.