Mathematiktheoretisches Problem bei Prozentrechnung

[Leonidas]

Hallo,

ich habe hier ein mathematiktheoretisches Problem beim Thema Prozentrechnung, wo ich wissen will, wo der Denkfehler liegt. Zur Vorabinfo: Ich kenne keinerlei Fachbegriffe, d.h. sobald mir jemand solche um die Ohren wirft, wird es schwer mit dem Verstehen des ganzen.

Ausgangslage ist folgende: Es soll ermittelt werden, wieviel schneller Produkt A gegenüber Produkt B und visa-verse ist. Vor allem soll die Umkehrrechnung auch wieder dieselben Ergebnisse erbringen.

Der Einfachheit halber haben wir Grafikkarte A und B in nur 2 Benchmarks
Gfx A erreicht einmal 100 fps (bench1) und einmal 100 fps (bench2).
Gfx B erreicht einmal 100 fps (bench1) und einmal 200 fps (bench2).

Die normale Rechnung würde lauten (aufgelöst nach Gfx B):
bench1: 100/100 = 1,00
bench2: 100/200 = 0,50
Schnitt aus beiden: 0,75

Die Aussage wäre also: Gfx A ist um 25% langsamer als Gfx B. Dreht man den Anker um, wäre Gfx B um 33% schneller als Gfx A.

Doch setze ich schon bei der Berechnung den Anker um, kommt ein anderes Ergebnis heraus (aufgelöst nach Gfx A):
bench1: 100/100 = 1,00
bench2: 200/100 = 2,00
Schnitt aus beiden: 1,50

Die Aussage wäre dann jedoch: Gfx B ist um 50% schneller als Gfx A - und nicht um 33% wie in der ersten Rechnung (und Gfx A ist um 33% langsamer als Gfx B).

Warum ist dies so? Beide Rechenweisen erscheinen plausibel. Ich weiss allerdings aus der reinen Praxis, das nur letztere Rechnung Ergebnisse auswirft, die bei allen Gegenrechnungen immer wieder bestätigt werden, sprich also (aus meiner Sicht) valide sind.

Mit Dank für alle Hilfe

[Mosher]

Das Problem besteht mMn darin, dass du zum Vergleich von Gfx A und Gfx B nicht die jeweiligen Relativwerte mitteln darfst, um auf das Gesamtergebnis zu kommen.

Bildest du konsequenterweise statt relativer Teilergebnisse (Bruch) die absoluten Messwerte (FPS), kommst du auf gfx a / gfx b = 200/300= a ist 33% langsamer, b ist 50% schneller.


bzw. gfx b / gfx a = 300/200 = b ist 50% schneller, a ist 33% langsamer.

Funktioniert also in beide Richtungen.


Bei der ersten Methode geht dir Information verloren, da die Teilergebnisse unterschiedlich stark gewichtet werden, wenn der Nenner jedes Mal ein anderer ist.
Dein Beispiel ist leider etwas unglücklich gewählt, da gfx a immer 100 punkte erzielt, und dadurch immer 100 im Nenner steht. Dadurch ist deine Methode 2 das gleiche, wie "meine" Methode, die Summe der Messergebnisse zu bilden und dann zu teilen.
Nehmen wir ein anderes Beispiel:

Bench1: gfx a = 100, gfx b = 100
Bench2: gfx a = 4, gfx b = 10
Bench3: gfx a = 110 gfx b = 100


"Deine" Methode, a/b
B1 =1
B2 =0.4
B3 =1.1
Mittel= 2.5/3= 5/6. A ist 1/6 langsamer, b ist 1/5 schneller

"Deine" Methode, b/a
B1 = 1
B2 = 2.5
B3 = 0.91
Mittel=4.41/3. B ist 1.41/3 schneller, A ist 1.41/4.41 langsamer.

"Meine" Methode:

A=214
B=210

a/b = 107/105. a ist 2/105 schneller, b ist 2/107 langsamer
b/a = 105/107. b ist 2/107 langsamer, a ist 2/105 schneller


Bei der Methode der Summenbildung der Absoluterte ist jedoch umkehrbar, die mit der Summe der Relativwerte nicht. Und da liegt das Problem.


Ich hoffe, das hilft dir weiter und ich habe das Problem richtig verstanden.

Edit: Aaah, am Handy tippen ist scheisse.

Also das Problem an der Reproduzierbarkeit bei Summenbildung der Relativwerte der Teilergebnisse besteht darin, dass sie nicht durch Kehrwertbildung zurückgerechnet werden kann.

Allgemein:

(a/b + c/d)^-1 != (b/a + d/c)

[Leonidas]

Bildest du konsequenterweise statt relativer Teilergebnisse (Bruch) die absoluten Messwerte (FPS), kommst du auf gfx a / gfx b = 200/300= a ist 33% langsamer, b ist 50% schneller.



Das rechnen mit Absolutwerten funktioniert leider nur in diesem Beispiel - aber nicht generell. Bei Absolutwerten würde ich automatisch die höheren Werte höher gewichten als die niedrigeren Werte, was das Ergebnis verfälscht. Krass könnte man sagen:
bench 1: 100 fps / 50 fps = 2,00
bench 2: 10.000.000 fps / 10.000.000 fps = 1,00
Schnitt der regulären Bruchrechnung: Gfx1 ist um 50% schneller als Gfx2.

Deine Rechnung würde ergeben:
10.000.100 / 10.000.050 = 1,00
Aussage wäre: Beide sind gleich schnell - was ich nicht so denke.

Selbst bei niedrigeren, normalen Zahlen tritt eine Verfälschung ein. Sprich: Ein Benchmark, der generell mit 90 fps läuft, erreicht damit in der Endabrechnung die doppelte Gewichtung wie ein Benchmark, der generell mit 45 fps abläuft. Die Rechnung mit Relationen ist somit ein Zwang für mich.

[Leonidas]

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

Bench1: gfx a = 100, gfx b = 100
Bench2: gfx a = 4, gfx b = 10
Bench3: gfx a = 110 gfx b = 100


"Deine" Methode, a/b
B1 =1
B2 =0.4
B3 =1.1
Mittel= 2.5/3= 5/6. A ist 1/6 langsamer, b ist 1/5 schneller

"Deine" Methode, b/a
B1 = 1
B2 = 2.5
B3 = 0.91
Mittel=4.41/3. B ist 1.41/3 schneller, A ist 1.41/4.41 langsamer.

"Meine" Methode:

A=214
B=210

a/b = 107/105. a ist 2/105 schneller, b ist 2/107 langsamer
b/a = 105/107. b ist 2/107 langsamer, a ist 2/105 schneller




Deine Verrechnung der Absolutwerte führt Dich für die konkrete Aufgabenstellung von fps-Wertungen total in die Irre. Verrechnet werden hierbei nicht Werte des gleichen Verfahrens, wo also Bench 1&2 grundsätzlich dasselbe sind. Es werden *unterschiedliche* Dinge zusammengezogen, deren Absolutwerte also nicht Bench-übergreifend vergleichbar sind. Daher darf ich niemals die Absolutwerte addieren, dies ergibt eine maßlose Verfälschung des Bildes.


Meine echte, intern verwendete Methode sagt im übrigen dazu folgendes:

GfxA ist um 45,161% schneller als GfxB
GfxB ist um 31,111% langsamer als GfxA
Beide Werte kann man gegeneinander rechnen, sie stimmen gegeneinander.

[Gipsel]

Geometrisches Mittel FTW! ;)
Damit kommt immer das Gleiche raus. Der Grund ist, daß die Einzelwerte multipliziert werden. Wann eine Kehrwertbildung erfolgt, ist also unerheblich (bei Summen kommt ja bekanntermaßen was Anderes raus).

1/(x*y) = 1/x * 1/y
aber
1/(a+b) != 1/a + 1/b
(wie Mosher schon schrieb)

[Mosher]

Deine Verrechnung der Absolutwerte führt Dich für die konkrete Aufgabenstellung von fps-Wertungen total in die Irre. Verrechnet werden hierbei nicht Werte des gleichen Verfahrens, wo also Bench 1&2 grundsätzlich dasselbe sind. Es werden *unterschiedliche* Dinge zusammengezogen, deren Absolutwerte also nicht Bench-übergreifend vergleichbar sind. Daher darf ich niemals die Absolutwerte addieren, dies ergibt eine maßlose Verfälschung des Bildes.


Meine echte, intern verwendete Methode sagt im übrigen dazu folgendes:

GfxA ist um 45,161% schneller als GfxB
GfxB ist um 31,111% langsamer als GfxA
Beide Werte kann man gegeneinander rechnen, sie stimmen gegeneinander.

Ok, verstanden, Absolutwerte sind also für den konkreten Fall nicht aussagekräftig.

Dennoch das Problem mit dem arithmetischen Mittel der Relativwerte:

Diese Rechenoperation ist i.A. nicht umkehrbar wegen 1/[(a/b + c/d)] != [(b/a) + d/c)]


Dein zweiter Fall

Doch setze ich schon bei der Berechnung den Anker um, kommt ein anderes Ergebnis heraus (aufgelöst nach Gfx A):
bench1: 100/100 = 1,00
bench2: 200/100 = 2,00
Schnitt aus beiden: 1,50

ist eben auch ein Spezialfall, bei dem die Addition der Relativwerte proportional zur Addition der Absolutwerte verläuft und deshalb umkehrbar ist.


Ich würde hier mit einer Normierung auf einen Referenzwert arbeiten, dann sollte das auch hinhauen.

Geometrisches Mittel FTW! ;)
Damit kommt immer das Gleiche raus. Der Grund ist, daß die Einzelwerte multipliziert werden. Wann eine Kehrwertbildung erfolgt, ist also unerheblich (bei Summen kommt ja bekanntermaßen was Anderes raus).

1/(x*y) = 1/x * 1/y
aber
1/(a+b) != 1/a + 1/b

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht :)

[Haarmann]

Prozent = pro 100

Wurde Früher zB 15 auf 100 geschrieben.

Ergo müssen die fps auf dem Bruchstrich stehen und nicht drunter.

[Leonidas]

Geometrisches Mittel FTW! ;)
Damit kommt immer das Gleiche raus. Der Grund ist, daß die Einzelwerte multipliziert werden. Wann eine Kehrwertbildung erfolgt, ist also unerheblich (bei Summen kommt ja bekanntermaßen was Anderes raus).

1/(x*y) = 1/x * 1/y
aber
1/(a+b) != 1/a + 1/b
(wie Mosher schon schrieb)




Ich denke nicht, das mich das zum Ziel führt. Es ist nicht diese Aussage, die ich treffen will. Wenn ich folgende Situation habe:
bench1: 100/100 = 1,00
bench2: 200/100 = 2,00
Dann *will* ich sagen, das GfxA im Schnitt um 50% schneller als GfxB ist. Das Geometrische Mittel verhindert diese Aussage, da kommt im vorherigen Beispiel nur "141" (= +41%) heraus.

Jede Rechnung muß sich immer daran messen, das damit ausgedrückt werden soll - und was in einer manuellen Rechnung mit wenigen Werte korrekt wäre. Korrekt ist im vorgenannten Beispiel allein der Wert +50%, nicht +41%.

[Mosher]

Ich denke nicht, das mich das zum Ziel führt. Es ist nicht diese Aussage, die ich treffen will. Wenn ich folgende Situation habe:
bench1: 100/100 = 1,00
bench2: 200/100 = 2,00
Dann *will* ich sagen, das GfxA im Schnitt um 50% schneller als GfxB ist. Das Geometrische Mittel verhindert diese Aussage, da kommt im vorherigen Beispiel nur "141" (= +41%) heraus.

Jede Rechnung muß sich immer daran messen, das damit ausgedrückt werden soll - und was in einer manuellen Rechnung mit wenigen Werte korrekt wäre. Korrekt ist im vorgenannten Beispiel allein der Wert +50%, nicht +41%.

Aber das führt dich doch auch in die Irre, oder?

Was ist, wenn du sowas hast:

B1 100/100
B2 200/100
B3 100/200



Durchschnitt: (1+2+0.5) / 3 = 3.5/3 > 1

Aber eigentlich wäre doch die intuitive Aussage, dass beide Karten gleich gut sind. B1: Beide gleich gut. B2: B "doppelt so gut". B3: B "halb so gut"


Um mal eine blöde Analogie zu bemühen: Du willst 120km fahren und kannst dafür ein Motorrad, oder ein Auto nehmen. Aufgrund der Streckenbeschaffenheit sind auf den ersten 40km sind beide gleich schnell, auf den zweiten 40km ist das Auto doppelt so schnell, dafür auf den letzten 40km nur noch halb so schnell. Beide Fahrzeuge kommen aber zum gleichen Zeitpunkt am Ziel an, sind also "im Schnitt" gleich gut.

Durch die Aufsummierung der Relativwerte gewichtest du "besser" mehr als "schlechter".

[Leonidas]

Was ist, wenn du sowas hast:

B1 100/100
B2 200/100
B3 100/200

Aber eigentlich wäre doch die intuitive Aussage, dass beide Karten gleich gut sind. B1: Beide gleich gut. B2: B "doppelt so gut". B3: B "halb so gut"


Sehr gutes Beispiel. Meine eigene (intern verwendete) Rechnung hierzu sagt: 1,00 = gleich.

Ich wollte nie sagen, das ich den "normalen" Durchschnitt verwende. Das tue ich doch gar nicht. Ich habe intern eine Rechnung, die IMO korrekt ist, weil die Ergebnisse sich zurückrechnen lassen und immer noch gleich sind.

Meine Frage war eher: Warum stimmt die normalübliche Durchschnittsbildung nicht? Deswegen sagte ich ja "mathematiktheoretisches" Problem.

[Kakarot]

bench1: 100/100 = 1,00
bench2: 200/100 = 2,00
Schnitt aus beiden: 1,50
bench1: 200/100 = 2,00
bench2: 1.000/2.000 = 0,50
Schnitt daraus: 1,25

Bei den beiden von mir angegebenen Benchmarks sollten beide Karten eigentlich gleich schnell sein, doch dann wäre der Schnitt 1, ist er aber nicht, ergo passt die Herangehensweise nicht.
Das Problem hierbei ist, dass jedes mal der Grundwert verändert wird, darum lassen sich die Prozentwerte auch nicht zu einer logischen Schlussfolgerung mitteln.

[Leonidas]

Das kommt der Sache vielleicht näher. Mich interessiert aber immer noch, ob nicht ein Mathematiker sagen kann: "Das ist grundsätzlich theoretisch falsch, weil ..."

PS: Mein interne Rechnung ergibt bei Deinen Werte im übrigen 1,00.

[Gimmick]

Das kommt der Sache vielleicht näher. Mich interessiert aber immer noch, ob nicht ein Mathematiker sagen kann: "Das ist grundsätzlich theoretisch falsch, weil ..."



Haben Mosher und Gipsel doch ^^.

(a/b + c/d)^-1 != (b/a + d/c)

Der Kehrwert der Summe ist nicht das Gleiche wie die Summe der Kehrwerte.

[Leonidas]

Meine Frage dazu ist: Warum ist dies so? Beide erscheinen auf den ersten Blick als valide Rechnungen-

[#44]

Weil du bei Äquivalenzumformung von (a/b + c/d)^-1 = (b/a + d/c) nicht zu einer wahren Aussage (0=0, 1=1, a=a o.Ä.) kommst.
Kurz: Weil es nicht so ist.

Schau dir mal bei Wolfram Alpha (https://www.wolframalpha.com/input/?i=(a%2Fb+%2B+c%2Fd)%5E-1+%3D+(b%2Fa+%2B+d%2Fc)) die Alternate Form an - da siehst du die Brüche ausmultipliziert. Die Rechnungen sind grundverschieden.

(Der Teil unter Solution bedeutet nur, dass es unter ganz speziellen Vorraussetzungen doch funktioniert)

[Gimmick]

Meine Frage dazu ist: Warum ist dies so? Beide erscheinen auf den ersten Blick als valide Rechnungen-

Sind sie teilweise.
Immer wenn du deinen Anker bei einer Variante änderst, ist das Ergebnis falsch.
Du berechnest quasi den Kehrwert der Summe der einzelnen "langsamer als" und eben nicht die Summe der einzelnen Kehrwerte.

[Ectoplasma]

Du kannst die Gewichtung "rausrechnen", in dem du die Zahlen für jede Stichprobe in die Domäne von 0 bis 1 bringst.

Dein Extremfall:

bench 1: 100 fps / 50 fps = 2,00
bench 2: 10.000.000 fps / 10.000.000 fps = 1,00

Umgerechnet in die Domäne [0 - 1]:

bench 1: 1 fps / 0,5 fps
bench 2: 1 fps / 1 fps

Ergibt dann:

b / a
1,5 / 2 = 0,75

Gfx2 hat also 0,75% der Leistung von Gfx1. Jedenfalls kann man Stichprobe 2 nicht einfach ignorieren.

[Kakarot]

Das kommt der Sache vielleicht näher. Mich interessiert aber immer noch, ob nicht ein Mathematiker sagen kann: "Das ist grundsätzlich theoretisch falsch, weil ..."
Etwas Anschauliches zu der Problematik:
Nehmen wir an, wir haben zwei Autos:
Auto A fährt auf den Geraden 200 km/h, Auto B 100 km/h, in den Kurven fährt Auto A 50 km/h und Auto B immernoch 100 km/h.

Jetzt ist die Strecke genau 100 km lang: 50 km Geraden und 50 km Kurven,
Auto A würde für diese Strecke 1 Std. und 15 Minuten brauchen, Auto B jedoch nur genau 1 Std.

[Mosher]

Etwas Anschauliches zu der Problematik:
Nehmen wir an, wir haben zwei Autos:
Auto A fährt auf den Geraden 200 km/h, Auto B 100 km/h, in den Kurven fährt Auto A 50 km/h und Auto B immernoch 100 km/h.

Jetzt ist die Strecke genau 100 km lang: 50 km Geraden und 50 km Kurven,
Auto A würde für diese Strecke 1 Std. und 30 Minuten brauchen, Auto B jedoch nur genau 1 Std.




Um mal eine blöde Analogie zu bemühen: Du willst 120km fahren und kannst dafür ein Motorrad, oder ein Auto nehmen. Aufgrund der Streckenbeschaffenheit sind auf den ersten 40km sind beide gleich schnell, auf den zweiten 40km ist das Auto doppelt so schnell, dafür auf den letzten 40km nur noch halb so schnell. Beide Fahrzeuge kommen aber zum gleichen Zeitpunkt am Ziel an, sind also "im Schnitt" gleich gut.

Autovergleich beste :D

[Kakarot]

Autovergleich beste :D
Nur, dass dein Vergleich nicht (immer) passt: "halb so schnell" lässt sich nicht (immer) durch "doppelt so schnell" kompensieren.
1. 40 km
Auto: 40 km/h = 1 Std. Fahrzeit
Motorrad: 40 km/h = 1 Std.

2. 40 km
Auto: 80 km/h = 30 min.
Motorrad: 40 km/h = 1 Std.

3. 40 km
Auto 80 km/h = 30 min.
Motorrad 160 km/h = 15 min.

Insgesamt
Auto: 2 Std.
Motorrad: 2 Std. 15 min.

[Mosher]

Nur, dass dein Vergleich nicht (immer) passt: "halb so schnell" lässt sich nicht (immer) durch "doppelt so schnell" kompensieren.
1. 40 km
Auto: 40 km/h = 1 Std. Fahrzeit
Motorrad: 40 km/h = 1 Std.

2. 40 km
Auto: 80 km/h = 30 min.
Motorrad: 40 km/h = 1 Std.

3. 40 km
Auto 80 km/h = 30 min.
Motorrad 160 km/h = 15 min.

Insgesamt
Auto: 2 Std.
Motorrad: 2 Std. 15 min.
Genau, aber deiner ja auch nicht.

Es zeigt ja genau das Problem mit den Relativwerten auf, nur eben andersherum.

[Kakarot]

Beide Fahrzeuge kommen aber zum gleichen Zeitpunkt am Ziel an, sind also "im Schnitt" gleich gut.
Nein, eben nicht (immer), das ist ja gerade das Entscheidende.

Grund dafür ist, dass das Verhältnis von Geschwindigkeit zu Strecke proportional ist, das Verhältnis von Geschwindigkeit zu Zeit aber antiproportional.
Sprich Gerade vs. Kurve, "1" ist es nur an den beiden Schnittpunkten.

[Mosher]

Nein, eben nicht (immer), das ist ja gerade das Entscheidende.

Grund dafür ist, dass das Verhältnis von Geschwindigkeit zu Strecke proportional ist, das Verhältnis von Geschwindigkeit zu Zeit aber antiproportional.
Sprich Gerade vs. Kurve, "1" ist es nur an den beiden Schnittpunkten.
Ja, das Beispiel funktioniert nicht immer, das ist schon klar, darum geht es ja nicht.

Aber es reicht ja schon ein Beispiel, bei dem die Fahrzeuge gleich gut sind, um zu zeigen, dass das mit den Relativwerten nicht hinhaut.

Ist ja bei deinem Beispiel nicht anders. Wenn du andere Zahlenwerte nimmst, hast du das gleiche in grün.

[Kakarot]

Aber es reicht ja schon ein Beispiel, bei dem die Fahrzeuge gleich gut sind, um zu zeigen, dass das mit den Relativwerten nicht hinhaut.
Es reicht ein Beispiel, bei dem die Fahrzeuge nicht gleich gut sind, um zu zeigen, dass das mit den Relativwerten nicht hinhaut.

Es gibt unendlich viele Fälle (einer davon ist der Sachverhalt, den ich vorher gepostet habe) bei denen die Fahrzeuge nicht gleich gut sind, aber nur einen oder zwei bei denen sie es sind und nur da passen die Mittelwerte.

[Mosher]

Es reicht ein Beispiel, bei dem die Fahrzeuge nicht gleich gut sind, um zu zeigen, dass das mit den Relativwerten nicht hinhaut.



Hä? In meinem Beispiel sind die Fahrzeuge gleich gut (Abschnitt A: beide 100, Abschnitt B: einer 100, der andere 50, Abschnitt C: einer 50, der andere 100, alle Abschnitte gleich lang), Mittelwertbildung der Relativwerte sagt aber was anderes.

Aber egal, daran müssen wir uns jetzt nicht aufhängen, ich denke, wir wissen, worum es geht.

[Leonidas]

Du kannst die Gewichtung "rausrechnen", in dem du die Zahlen für jede Stichprobe in die Domäne von 0 bis 1 bringst.

Dein Extremfall:

bench 1: 100 fps / 50 fps = 2,00
bench 2: 10.000.000 fps / 10.000.000 fps = 1,00

Umgerechnet in die Domäne [0 - 1]:

bench 1: 1 fps / 0,5 fps
bench 2: 1 fps / 1 fps

Ergibt dann:

b / a
1,5 / 2 = 0,75

Gfx2 hat also 0,75% der Leistung von Gfx1. Jedenfalls kann man Stichprobe 2 nicht einfach ignorieren.


Hochinteressant!

Weil nicht ganz unähnlich funktioniert meine interne Formel. Allerdings in umgedrehter Form: Ich erzeuge für jeden Wert eine Relation, bei welcher der niedrigste* der beiden Werte "100" ist. Diese herauskommenden Zwischenergebnisse verrechne ich. Sieht dann also so aus:
bench 1: 100 fps / 50 fps
bench 2: 10.000.000 fps / 10.000.000 fps
->
bench 1: 200 / 100
bench 2: 100 / 100
Ergebnis: GfxA ist um 50% schneller als GfxB. Trifft IMO das, was ich aussagen will. +33% (wie bei Dir) wäre gefühlsmäßig falsch und geht auch nicht durch die Rückrechnung.

* notwendig für Benchmarks, wo GfxB schneller als GfxA ist.





Etwas Anschauliches zu der Problematik:
Nehmen wir an, wir haben zwei Autos:
Auto A fährt auf den Geraden 200 km/h, Auto B 100 km/h, in den Kurven fährt Auto A 50 km/h und Auto B immernoch 100 km/h.

Jetzt ist die Strecke genau 100 km lang: 50 km Geraden und 50 km Kurven,
Auto A würde für diese Strecke 1 Std. und 15 Minuten brauchen, Auto B jedoch nur genau 1 Std.


In diesem Beispiel berechnet man IMO die falschen Werte zusammen. Man dürfte nicht die Geschwindigkeit miteinander verrechnen (XXX km/h), sondern die benötigte Zeit. Denn das ist es, was man am Ende wissen will.

Anders formuliert: Beide Autos sind im Schnitt 100 km/h gefahren. Dies ist keine falsche Aussage. Aber wenn Du wissen willst, wieviel Zeit sie benötigt haben, dann darfst Du IMO als Zwischenwerte nicht die Geschwindigkeit nehmen, sondern eben die Zeit als Zwischenwert.

[Erdbeermayonnaise]

Das Problem ist eigentlich kein "mathematiktheoretisches", sondern eins der Interpretation der berechneten Werte. Man muss sich zuerst überlegen, was man wissen will, bevor man anfängt zu rechnen und nicht erst rechnen und dann hinterher überlegen, was man da eigentlich berechnet hat.

Was wir ja eigentlich wissen wollen ist Folgendes: Gegeben ein zufälliges Spiel, welche relative Perfomance von Grafikkarte A zu Grafikkarte B kann ich erwarten?

Wir haben also zwei Zufallsvariablen, einmal die fps von Grafikkarte A in einem gegeben Spiel (fps_A) und einmal die von Grafikkarte B (fps_B).

Dann ist der Erwartungswert E[fps_A] die Framerate, die man von Karte A "erwarten" kann, wenn man einfach ein zufälliges Spiel startet. Näherungsweise berechnen kann man diesen Erwartungswert, indem man den arithmetischen Mittelwert der Testergebnisse von Karte A bestimmt.

x = E[fps_A]/E[fps_B] wäre der Quotient der beiden Erwartungswerte. Man könnte das interpretieren als "A ist x-mal so schnell wie B", allerdings vergleicht man hier natürlich die absoluten Frameraten, was wir aber nicht wollten.

Was uns eigentlich interessiert ist die Verteilung fps_A/fps_B bzw. der zugehörige Erwartungswert x = E[fps_A/fps_B]. Dann könnte man sagen "Gegeben ein zufälliges Spiel, dann kann man erwarten, dass die fps von A das x-fache der fps von B sind.
Jetzt kommt das merkwürdige, was Leonidas so irritiert hat:
Man könnte genauso mit Fug und Recht die Verteilung fps_B/fps_A berechnen. Deren Erwartungswert ist aber i.A. NICHT 1/E[fps_A/fps_B].
So kommt man in die Situation des Startpostings:
Dort war E[fps_A/fps_B] = 0,75 und E[fps_B/fps_A] = 1,5. D.h. "Karte A ist erwartungsgemäß 0,75-mal so schnell wie Karte B" und "Karte B ist erwartungsgemäß 1,5-mal so schnell wie Karte A". Scheinbar ein Widerspruch.
Aber wie bereits hier erläutert wurde ist eben i.A. E[1/X] != 1/E[X]. Das ist vielleicht nicht intuitiv, aber von der Rechnung her sofort klar. D.h. wir haben die beiden wahren Aussagen:
"Karte A ist erwartungsgemäß 0,75-mal so schnell wie Karte B."
"Karte B ist erwartungsgemäß 1,5-mal so schnell wie Karte A".
Und die beiden falschen:
"Karte B ist erwartungsgemäß 1,33-mal so schnell die Karte A."
"Karte A ist erwartungsgemäß 0,67-mal so schnell wie Karte B."

Kurzum: Der eigentliche Fehler im Startposting ist, dass man die Erwartungswerte nicht einfach invertieren kann. Die Rechnungen sind beide richtig, berechnen aber etwas anderes!

Wenn einem das gar nicht gefällt, kann man natürlich auch eine andere Frage stellen, so wie von Ectoplasma vorgeschlagen:
Man betrachtet die Wahrscheinlichkeitsverteilungen fps_A/fps_Max und fps_B/fps_Max, wobei fps_Max die höchste unter allen Karten in einem gegebenen Benchmark erreichte Framerate ist.
Dann heißt E[fps_A/fps_Max] = x: "Erwartungsgemäß erreicht Karte A in einem zufälligen Spiel das x-fache der mit der besten Karte für dieses Spiel erreichbaren Framerate."

Sowas könnte man natürlich sehr gut als Rating für Grafikkarten benutzen. Aber man muss aufpassen: Es ist nicht möglich, auf diese Weise A und B direkt zu vergleichen. D.h. es gilt nicht: E[fps_A/fps_B] = E[fps_A/fps_Max] / E[fps_B/fps_Max]. Wenn also Karte A ein Rating von 100 bekommt und Karte B eines von 50, dann ist die Aussage
"Das Rating von A ist doppelt so hoch wie das von B"
und NICHT
"Die fps mit Karte A sind erwartungsgemäß doppelt so hoch wie die mit Karte B".

[Mosher]

Das Stichwort ist Normierung und wurde hier auch schon genannt.

[kiX]

Anders formuliert: Beide Autos sind im Schnitt 100 km/h gefahren. Dies ist keine falsche Aussage. Aber wenn Du wissen willst, wieviel Zeit sie benötigt haben, dann darfst Du IMO als Zwischenwerte nicht die Geschwindigkeit nehmen, sondern eben die Zeit als Zwischenwert.
Es wurde ja schon viel Richtiges geschrieben, aber hierzu will ich doch noch etwas sagen. Die markierte Aussage ist sehr wohl falsch (sonst würden beide Autos bei gleicher Strecke ja eben DOCH die gleiche Zeit benötigen). Man kann nicht einfach triviale Durchschnittsgeschwindigkeiten (i.e. [V1+V2]/2) bei unbekannten Fahrtzeiten bilden. Man müsste nach der Zeit gewichtet mitteln und nicht nach der Strecke. Möglicherweise meinst du das (etwas verschwurbelt im zweiten Satz), aber es ist kein Problem Geschwindigkeit<->Zeit sondern ein Problem der Normierung Zeit<->Strecke.

[Kakarot]

In diesem Beispiel berechnet man IMO die falschen Werte zusammen. Man dürfte nicht die Geschwindigkeit miteinander verrechnen (XXX km/h), sondern die benötigte Zeit. Denn das ist es, was man am Ende wissen will.

Anders formuliert: Beide Autos sind im Schnitt 100 km/h gefahren. Dies ist keine falsche Aussage. Aber wenn Du wissen willst, wieviel Zeit sie benötigt haben, dann darfst Du IMO als Zwischenwerte nicht die Geschwindigkeit nehmen, sondern eben die Zeit als Zwischenwert.
Man rechnet doch mit der Zeit, man schaut, wie lange das jeweilige Auto für den bestimmten Steckenabschnitt gebraucht hat, in Minuten bzw. Stunden. Die Geschwindigkeit dient nur als "Formel" zur Berechnung der Zeiten, die man dann miteinander vergleicht.

[Leonidas]

Hast Du recht. "Beide Autos sind im Schnitt 100 km/h gefahren." ist falsch, weil sie nicht den Anteil der gefahrenen Zeit mit betrachtet.