Mathe Grundschule: Kombinatorik

[Ash-Zayr]

Hallo,
unsere Tochter hat nun Ende 4 Klasse dieses Thema. Die Sachaufgaben sind alle praxisnah formuliert, aber am Ende fragen wir uns, ob man die Lösungen nach einem Schema errechnen kann, oder letztlich über Tabellen oder Baumdiagramme alles aufmalt, ohne hoffentlich Kombinationen zu vergessen.

3 Beispiele vereinfacht formuliert:

Ein Tresor hat 4 Tasten mit jeweils unterschiedlichen Symbolen. Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es, die Taster zu drücken?


Im Restaurant gibt es 3 mögliche Vorspeisen, 4 Hauptspeisen und 2 Deserts. Wie viele mögliche Menüs gibt es?


Es solll ein Muster bestehend aus 3 Farben gemalt werden. Ich habe 4 Buntstifte zur Wahl. Wie viele mögliche Muster kann ich erzeugen?


So, ich denke, jede Aufgabenstellung erfordert eine andere Herangehensweise, oder? Und diese Art Aufgaben haben noch nichts mit Fakultät zu tun, oder? Denn auf diesem Level sind die Aufgaben derart, dass die Elemente ja quasi fix sind und nicht mehrfach vorkommen dürfen wie bei einer 4-stelligen Pin z.B. von 0000 bis 9999.

Könnt Ihr aufzeigen, ob es vielleicht doch Rechenwege gibt, die sich die Tochter merkt, oder ist es hier am Anfang dieser Materie gar nicht ratsam und wichtiger, dass sie doch über probieren und aufmalen/skizzieren die Möglichkeiten darlegen?

danke Euch
Ash

[Sunrise]

So, ich denke, jede Aufgabenstellung erfordert eine andere Herangehensweise, oder?
Nö, ist jedesmal identisch bei deinen Beispielen.

Was soll Kombinatorik auch anderes sein, als Multiplikation bzw. die grundlegenden mathemetischen Grundlagen zu verstehen?

[Maorga]

BSP 1 fail:


Ein Tresor hat 4 Tasten mit jeweils unterschiedlichen Symbolen. Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es, die Taster zu drücken?

schlechtes Beispiel. Wie oft darf denn gedrückt werden. Bei 4 mal ist es 4*3*2*1

BSP 2:

3*4*2

BSP 3:

3*4

[#44]

BSP 3:

3*4
4*3*2(*1)

4 Möglichkeiten eine Farbe auszulassen
3 Möglichkeiten Teil A des Musters (bspw. einen Kreis) zu Färben
2 Möglichkeiten Teil B des Musters (bspw. ein Quadrat) zu Färben
(1 Möglichkeit Teil C des Musters (bspw. ein Dreieck) zu Färben)

Das wäre für so einfache Aufgaben auch das Schema. "Wie viele Möglichen habe ich bei jedem Auswahlschritt"

[Eisenhauer]

Das Buntstift Beispiel kann man auch sehr schnell durch aufschreiben lösen wenn jeder Stift nur einmal genommen werden darf (Prämisse unterschiedliche Farben)
:
Buntstift 1, 2, 3
Buntstift 1, 2, 4
Buntstift 1, 3, 4
Buntstift 2, 3, 4

Es gibt also 4 mögliche Kombinationen von 3 Farben, die du aus 4 Buntstiften auswählen kannst.

Selbst Beim Tresor, wenn jede Taste nur einmal gedrückt werden darf, geht es auch recht mit einer Tabelle bei max 4 Stellen des Codes:

EDIT: Screen der Tabelle gelöscht, Tippfehler

[#44]

Es gibt also 4 mögliche Kombinationen von 3 Farben, die du aus 4 Buntstiften auswählen kannst.

Die Frage "Wie viele Farbkombinationen kann das Muster annehmen" ist nicht die gleiche wie "Wie viele Muster kann man erzeugen".

[Eisenhauer]

Wenn man es auf die spitze treibt ist nicht einmal gegeben das die Stifte unterschiedliche Farben haben. Auch Muster kann man hier sicher nicht wörtlich nehmen. Mit einem Stift kann ich schon nahezu unendlich viele Muster erzeugen.

Wie immer gilt: gute Textaufgaben zu erstellen ist verdammt schwer.

[Radeonfreak]

Im Restaurant gibt es 3 mögliche Vorspeisen, 4 Hauptspeisen und 2 Deserts. Wie viele mögliche Menüs gibt es?


Eines, wenn man großen Hunger hat.

[Korfox]

Wie hier eigentlich schon ausdiskutiert wurde läuft es wohl immer auf 4! raus.
Wobei die Aufgaben ungenau gestellt sind. Die Annahme ist, dass der Tresor einen vierstelligen Pin hat und keine Taste zwei Mal darin vorkommen darf und das Muster gegeben ist und es nur darum geht, wie man die Farben verteilen kann (4 Farben für das erste Feld, 3 für das zweite Feld, 2 für das dritte Feld, 1 Farbe die übrig bleibt).

Bei 4! ist man in einem Rahmen, in dem man die Fakultät nicht kennen muss. Vielleicht ist das Ziel darzustellen, dass 3 aus 4 und 4 aus 4 die selbe Anzahl an kombinatorischen Möglichkeiten ergibt, der Weg ist aber sicher sich überlegen zu müssen, dass man eben immer erst 4 Möglichkeiten hat, dann 3, dann 2, dann 1.

Wenn man am Tresor Tasten doppelt drücken darf fiele der aus dem Schema raus (und man hätte nicht mehr implizit die Angabe, dass der Pin vierstellig ist). Deswegen wird die Annahme oben korrekt sein.

[#44]

Wenn man es auf die spitze treibt ist nicht einmal gegeben das die Stifte unterschiedliche Farben haben.

Denn auf diesem Level sind die Aufgaben derart, dass die Elemente ja quasi fix sind und nicht mehrfach vorkommen dürfen

Würde das eher einer verkürzten Darstellung durch den TS zuschreiben.


Ich halte es bei Kombinatorik aber auch für den schwierigeren Teil, zu erkennen welcher Fall genau gefragt ist. War auch überrascht, dass das Aufgaben der Grundschule sind.

[Ash-Zayr]

Bei der Tresoraufgabe geht es darum, dass jede Taste einmal gedrückt werden muss/darf. Die Frage ist, wie viele Möglichkeiten der Reihenfolge es gibt. Es geht nicht um eine Pin, bei der ein Digit einen variablen Wert von 0-9 annehmen kann.

[Ash-Zayr]

Das mit den Stiften....nehmen wir erstmal 3 Stifte....es sind Muster auszumalen, die quasi in 3 Bereiche aufgeteilt sind. Welche Kombinationen sind möglich mit Rot, Grün, Blau?

R G B
R B G
G B G
G R B
B R G
B G R

6, oder nicht? Habe ich nun 4 Stifte, potentiert sich das doch noch auf 24....bei 5 Stiften?

[Sunrise]

Das mit den Stiften....nehmen wir erstmal 3 Stifte....es sind Muster auszumalen, die quasi in 3 Bereiche aufgeteilt sind. Welche Kombinationen sind möglich mit Rot, Grün, Blau?

R G B
R B G
G B G
G R B
B R G
B G R

6, oder nicht? Habe ich nun 4 Stifte oder mehr zur Wahl, potentiert sich das doch noch, oder?
Mal davon ab, dass du was vergessen hast ist das absolut simple Mathematik.

[#44]

Wenn das Muster Rotationssymmetrie hat, gibt es bei 3 Farben 2 Möglichkeiten :S

(Ja, wird auf Grundschulniveau eher nicht die Aufgabe sein. Zeigt aber vlt. wie schwer das ohne die exakte Aufgabenstellung/Rahmenbedingungen einzuschätzen ist.)

[drdope]

Ich halte es bei Kombinatorik aber auch für den schwierigeren Teil, zu erkennen welcher Fall genau gefragt ist. War auch überrascht, dass das Aufgaben der Grundschule sind.

Problematisch ist da auch, mit dem Vorwissen eines Erwachsenen ranzugehen, der ggf. sogar Mathe-LK im Abi hatte (#me).

Die didaktische Herangehensweise heute unterscheidet sich imho sehr stark von dem, was z.B. mir (BJ '75) in der Schule gelehrt wurde.
Vermutlich sind wir hier alle ähnlich alt, oder?

Mein Neffe hatte gegen Ende der Nuller-Jahre in der zweiten Klasse so lustige Rechenpyramiden (3-2-1 Felder; wo man die richtigen Zahlen ergänzen sollte).
Im Prinzip eine triviale Gleichung mit zwei Unbekannten (x,y), wo man y nach x auflöst und danach alle y durch x+-Zahl substituiert.

Aber in der zweiten Klasse sollte (lt. Lehrer) die Herangehensweise sein, das man durch Trial and Error, ein Gefühl für unterschiedliche große Zahlen entwickelt.

[Eisenhauer]

Zu den Stiften ist unter den vielen Annahmen die ich für nachvollziehbar halte (bzgl. Grundschule), die Lösung wahrscheinlich wirklich: 4 Stifte X 3 Farbfelder -> 12. Ich glaube nicht das 4! schon bekannt ist

1 2 3
1 2 4
1 3 4

2 3 4
2 4 1
2 3 1

3 4 1
3 4 2
3 2 1

4 3 2
4 2 1
4 3 1

[pest]

1. 4! = 24 mögliche Reihenfolgen
2. 3*4*2 = 24 Menüs
3. Annahme: Reihenfolge relevant: 4*3*2 = P(4,3) = 24 Muster

[Korfox]

Bei der Tresoraufgabe geht es darum, dass jede Taste einmal gedrückt werden muss/darf. Die Frage ist, wie viele Möglichkeiten der Reihenfolge es gibt. Es geht nicht um eine Pin, bei der ein Digit einen variablen Wert von 0-9 annehmen kann.

Ein PIN muss nicht aus Ziffern bestehen. Und dann: siehe oben. Es ist immer 4*3*2*1.

[KhanRKerensky]

Eine Persönliche IdentifikationsNummer muss nicht aus Ziffern bestehen?

[00-Schneider]

Zu 1.:

Solange nicht im Text irgendwo festgelegt ist, dass man die selbe Taste nicht mehrmals drücken darf, kann 4^4 keine falsche Antwort sein.

[Ash-Zayr]

Ich habe noch mal den Wortlaut der Tresoraufgabe:

Professor Listing hat sein Labor mit einem Schloss gesichert. Um es zu öffnen, muss man nacheinander diese vier Symbole in der richtigen Reihenfolge drücken. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Daneben sind die Symbole Quadrat/Kreis/Dreieck/Plus-Zeichen.

Weiter unten ist dann die erste Kombination vorgedruckt. Die weiteren sollen die Kindern dann in einem vorgesehenen karierten Freibereich alle aufmalen.

Also, mathematisch greift hier in dieser Konstellationen als Fakultät von 4, was 4*3*2*1 = 24 ist?
Ich sehe im Matheheft aber tatsächlich keine Hinweise auf ein Errechnen...sondern wohl in diesem Niveau nur verstehen, erkennen, alles bildlich ausrollen. Bei 24 Möglichkeiten ist das aber Arbeit.

Bei Aufhaben wie 2 Hüte, 3 Hosen und 5 Paar Schuhe...wie viele Möglichkeiten sich zu verkleiden hat man, könnte man aber sagen...immer einach die Anzahlen miteinander multiplizieren.


Das mit den Stiften ist als Aufgabe so im Heft:
Lia soll im Kunstunterricht ein Muster malen. Sie hat einen gelben, einen lila, einen orangenen und einen roten Stift. Für das Muster soll sie genau drei Farben benutzen.
Wie viele Möglichkeiten hat Lia, die Farben auszuwählen?

[Korfox]

Eine Persönliche IdentifikationsNummer muss nicht aus Ziffern bestehen?
Spätestens seitdem es alphanumerische Windows Hello-Pins gibt: nein, muss sie nicht.

Edit: oder wegen mir nehmen wir PIN als numerisch definiert. Die Symbole auf dem Tresor sind im Einganspost nicht näher bezeichnet und auch Ziffern sind Symbole.

[Lawmachine79]

Im Restaurant gibt es 3 mögliche Vorspeisen, 4 Hauptspeisen und 2 Deserts. Wie viele mögliche Menüs gibt es?



Ich nehme alles, und davon viel.

[Ash-Zayr]

...wenn wir noch mal kurz ernst werden könnten...Nachschub, und Vater und Mutter beißen sich die Zähne dran aus:

Auf der Skaterbahn begrüßen sich alle Kinder untereinander einmal mit Abklatschen...es wurde 21 mal abgeklatscht. Wie viele Kinder befinden sich auf der Skaterbahn?

Wir tippen auf 7...aber ohne Berechnung, sondern irgendwie aufgemalt auf gut Glück von 7 ausgehend, dass Kind 1 6 Kinder abklatscht, Kind 2 nur noch 5, Kind 4 noch 3, usw...das letzte keines mehr, weil es schon alle hatte.....wie zum Geier sollen Grundschüler hier ohne das Aufstellen einer komplexen Gleichung zum Ergebnis kommen?

ash

[pest]

...wenn wir noch mal kurz ernst werden könnten...Nachschub, und Vater und Mutter beißen sich die Zähne dran aus:

Auf der Skaterbahn begrüßen sich alle Kinder untereinander einmal mit Abklatschen...es wurde 21 mal abgeklatscht. Wie viele Kinder befinden sich auf der Skaterbahn?

Wir tippen auf 7...aber ohne Berechnung, sondern irgendwie aufgemalt auf gut Glück von 7 ausgehend, dass Kind 1 6 Kinder abklatscht, Kind 2 nur noch 5, Kind 4 noch 3, usw...das letzte keines mehr, weil es schon alle hatte.....wie zum Geier sollen Grundschüler hier ohne das Aufstellen einer komplexen Gleichung zum Ergebnis kommen?

ash

Anzahl der Abklatscher = Anzahl der Paare => Binomialkoeffizient: n über k=2

n über 2 = n*(n-1)/2 = 21

=> n = 7, denn 7*6 / 2 = 21


Jedes Kind klatscht mit einem anderen Kind (außer sich selbst) einmal ab: n*(n-1)

Klassisches Urnenmodell: "Die Reihenfolge ist nicht relevant und es wird auch nicht zurückgelegt" = egal ob ich erst Peter und dann Marie begrüße, und ich begrüße Marie auch nicht zweimal

[Ash-Zayr]

danke Dir....aber Zitat:

"wie zum Geier sollen Grundschüler hier ohne das Aufstellen einer komplexen Gleichung zum Ergebnis kommen?"

ash

[pest]

Ich weiß nicht ob n*(n-1) / 2 eine komplexe Gleichung für Grundschüler ist
Auf n*(n-1) sollte man ohne viel nachdenken kommen
Wenn aber Marie mit mir abklatscht und ich mit Marie abklatsche ist das in n*(n-1) = "Jedes Kind klatscht mit allen anderen ab" enthalten. Wir wollen das aber nur einmal zählen also "durch 2".

[Ash-Zayr]

die kennen noch nicht mal Klammern....;)
Zudem beweist Du in Deiner Aufstellung doch nur die Annahme 7 hin zum Ergebnis 21.
Wie sieht denn die ganze Gleichung nach n aufgelöst aus, wenn ich ja nur die 21 als Ergebnis habe und n erst suche?

[pest]

unwichtig imo
man probiert aus

5 Kinder klatschen 4 andere Kinder ab = 5*4 / 2 = 10 Abklatscher
6 Kinder klatschen 5 andere Kinder ab = 6*5 / 2 = 15 Abklatscher
7 Kinder klatschen 6 andere Kinder ab = 7*6 / 2 = 21 Abklatscher

:)

[Ash-Zayr]

unwichtig imo
man probiert aus

5 Kinder klatschen 4 andere Kinder ab = 4*3 / 2 = 6 Abklatscher
6 Kinder klatschen 5 andere Kinder ab = 6*5 / 2 = 15 Abklatscher
7 Kinder klatschen 6 andere Kinder ab = 7*6 / 2 = 21 Abklatscher

:)

das sieht schon eher nach Grundschule aus, aber hast Du Dich in der ersten Zeile vertippt, warum dort nicht 5*4/2 wie bei den nächst größeren Reihen?

[pest]

ja vertippt

wichtig ist die eigenen Überlegungen darzustellen - nicht richtig zu rechnen

[Eisenhauer]

Ich finde das Thema echt spanned, weil man diese Aufgaben oft völlig unterschiedlich deuten kann.
Gleichzeitig eine Lösung zu finden die für Grundschüler umsetzbar scheint ist schon komplex. Ich glaube nicht das ein Grundschüler auf diese Formel kommen kann. Die Zweite Lösung von Pest sieht schon gut aus. Ich hab angenommen das es Geometrisch recht leicht ist, aber mehr als 5 Kinder ( Fünfeck ) und dann die über Kreuzungen (Stern im Fünfeck) halte ich auch nicht Sinnvoll aufzuzeichnen. Gerne mehr Ideen, auch um die Ecke

[pest]

Ich finde das Thema echt spanned, weil man diese Aufgaben oft völlig unterschiedlich deuten kann.

Völlig egal wie du das deutest - wichtig ist, was der Lehrer will :)


Ich finde die Idee sich zB 5 Kinder aufzumalen und zu zählen und daraus eine Vorschrift abzuleiten sinnig

Ich meine
5 Kinder klatschen mit 4 anderen ab (weil sie sich nicht selber abklatschen) -> 20 Abklatscher -> trivial

Jetzt muss man (durch aufmalen und zählen) drauf kommen, dass man die Abklatscher bei obiger Überlegung immer doppelt zählt, das muss man rausdividieren
Das Beispiel n=2 zeigt eben, dass n*(n-1) nicht korrekt ist

[TomatoJoe]

6+5+4+3+2+1=21

Hab's mir auf "kinderweise" näherungsweise errechnet.
Ich Treff ich mit zwei Kumpels. Check mit dem einen, Check mit dem anderen, und sie untereinander einmal.
Bei 3 = 2+1
also quasi
n = (n-1)+(n-2)+(n-3)... So lang bis (n-x) null oder negativ wird. Keine Ahnung wiean das mathematisch korrekt zu Papier bringt.

[Eisenhauer]

Ich hab noch eine Variante gefunden die logisch nachvollziehbar ist und nur einfachste Kenntnisse von Mathe benötigt:

der Fall von 2 Kinder: 2Kinder-1Selbstklatsch=1 Klatscher muss als Bedingung erkannt werden, daraus folgt

+1 Kind: 3Kinder-1+1 alten Klatscher --> 3 Klatscher
+1 Kind: 4Kinder-1+3 alten Klatscher --> 6 Klatscher
+1 Kind: 5Kinder-1+6 alten Klatscher --> 10 Klatscher
+1 Kind: 6Kinder-1+10 alten Klatscher --> 15 Klatscher
+1 Kind: 7Kinder-1+15 alten Klatscher --> 21 Klatscher

[Korfox]

Wie Eisenhauer schreibt und das ist auch nicht viel Aufwand und für jedes Kind verstehbar.
1 Kind klatscht nicht ab -> 0
2. Kind klatscht erstes Kind ab -> 0+1=1
3. Kind klatscht 2. Und 1. Kind ab -> 0+1+2=3
...

[pest]

6+5+4+3+2+1=21

Hab's mir auf "kinderweise" näherungsweise errechnet.
Ich Treff ich mit zwei Kumpels. Check mit dem einen, Check mit dem anderen, und sie untereinander einmal.
Bei 3 = 2+1
also quasi
n = (n-1)+(n-2)+(n-3)... So lang bis (n-x) null oder negativ wird. Keine Ahnung wiean das mathematisch korrekt zu Papier bringt.

Ja per Induktion ist einfacher

Treffen sich 2 Kinder und klatschen 1 mal ab
Wenn jetzt ein drittes Kind dazu kommt, muss das mit den Anwesenden 2 Abklatschen -> 3 Kinder klatschen 1+2 = 3 mal ab
Ein viertes Kind kommt dazu und muss mit den Anwesenden 3 abklatschen -> 4 Kinder klatschen 1+2+3 = 6 mal ab

usw.